8、设总体Xsim N(0,4)，X_(1),X_(2),X_(3)是来自X的样本，c(X_(1)^2+X_(2)^2+X_(3)^2)sim x^2 则c=____

本题考查正态分布与卡方分布的关系以及卡方分布的性质。解题的关键思路是先将给定的正态分布转化为标准正态分布，再利用标准正态分布的平方和服从卡方分布这一性质来确定常数 $c$ 的值。

1. 将总体 $X$ 转化为标准正态分布：
   已知总体 $X \sim N(0, 4)$，样本 $X_1, X_2, X_3$ 独立同分布于 $N(0, 4)$。对于正态分布 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，若令 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，则 $Z \sim N(0, 1)$。在本题中，$\mu = 0$，$\sigma = \sqrt{4}=2$，令 $Z_i = \frac{X_i - 0}{2}=\frac{X_i}{2}$，那么 $Z_i \sim N(0, 1)$，$i = 1,2,3$。
2. 对 $X_i^2$ 进行变形：
   由 $Z_i = \frac{X_i}{2}$，可得 $X_i = 2Z_i$，两边同时平方得到 $X_i^2 = (2Z_i)^2 = 4Z_i^2$。
   将 $i = 1,2,3$ 代入上式并求和，可得 $X_1^2 + X_2^2 + X_3^2 = 4Z_1^2 + 4Z_2^2 + 4Z_3^2 = 4(Z_1^2 + Z_2^2 + Z_3^2)$。
3. 利用卡方分布的性质：
   根据卡方分布的定义，若 $Z_1, Z_2, \cdots, Z_n$ 相互独立且都服从标准正态分布 $N(0, 1)$，则 $Z_1^2 + Z_2^2 + \cdots + Z_n^2 \sim \chi^2(n)$。
   因为 $Z_1, Z_2, Z_3$ 相互独立且都服从 $N(0, 1)$，所以 $Z_1^2 + Z_2^2 + Z_3^2 \sim \chi^2(3)$。
4. 确定常数 $c$ 的值：
   已知 $c(X_1^2 + X_2^2 + X_3^2) \sim \chi^2$，将 $X_1^2 + X_2^2 + X_3^2 = 4(Z_1^2 + Z_2^2 + Z_3^2)$ 代入可得 $c\cdot4(Z_1^2 + Z_2^2 + Z_3^2) \sim \chi^2$。
   为了使 $c\cdot4(Z_1^2 + Z_2^2 + Z_3^2)$ 服从卡方分布，且与 $Z_1^2 + Z_2^2 + Z_3^2 \sim \chi^2(3)$ 形式一致，需要 $c\cdot4 = 1$。
   解这个方程：
   $\begin{align*}c\cdot4&=1\\c&=\frac{1}{4}\end{align*}$