题目
已知sim U[ 0,6] sim N(0,4) rho xY=-1,则sim U[ 0,6] sim N(0,4) rho xY=-1 ___ .
已知
,则
___ .
题目解答
答案
已知
，则 X 的方差 D(X) 为：
已知
，则 Y 的方差 D(Y) 为：
已知 
，则 X 和 Y 的协方差
为：
利用方差的性质，对于任意常数 a 和 b，以及随机变量 X 和 Y，有：
代入 
，得：
故答案为：49。
解析
步骤 1：计算 X 的方差 D(X)
已知$X\sim U[ 0,6] $，则 X 的方差 D(X) 为：
$D(X)=\dfrac {{(6-0)}^{2}}{12}=3$
步骤 2：计算 Y 的方差 D(Y)
已知$Y\sim N(0,4)$，则 Y 的方差 D(Y) 为：
$D(Y)=4$
步骤 3：计算 X 和 Y 的协方差$C_{ov}(X,Y)$
已知 $\rho_{XY}=-1$，则 X 和 Y 的协方差$C_{ov}(X,Y)$ 为：
$C_{ov}(X,Y)=\rho_{XY}\times \sqrt{D(X)}\times \sqrt{D(Y)}=-1\times \sqrt{3}\times \sqrt{4}=-2\sqrt{3}$
步骤 4：利用方差的性质计算$D(\sqrt {3}X-2Y)$
利用方差的性质，对于任意常数 a 和 b，以及随机变量 X 和 Y，有：
$D(ax+bY)={a}^{2}D(X)+{b}^{2}D(Y)+2abC_{ov}(X,Y)$
代入 $a=\sqrt {3}$, $b=-2$, $D(X)=3$, $D(Y)=4$, $C_{ov}(X,Y)=-2\sqrt {3}$，得：
$D(\sqrt {3}X-2Y)=3\times 3+4\times 4+2\times \sqrt {3}\times (-2)\times (-2\sqrt {3})$
=9+16+24
=49
已知$X\sim U[ 0,6] $，则 X 的方差 D(X) 为：
$D(X)=\dfrac {{(6-0)}^{2}}{12}=3$
步骤 2：计算 Y 的方差 D(Y)
已知$Y\sim N(0,4)$，则 Y 的方差 D(Y) 为：
$D(Y)=4$
步骤 3：计算 X 和 Y 的协方差$C_{ov}(X,Y)$
已知 $\rho_{XY}=-1$，则 X 和 Y 的协方差$C_{ov}(X,Y)$ 为：
$C_{ov}(X,Y)=\rho_{XY}\times \sqrt{D(X)}\times \sqrt{D(Y)}=-1\times \sqrt{3}\times \sqrt{4}=-2\sqrt{3}$
步骤 4：利用方差的性质计算$D(\sqrt {3}X-2Y)$
利用方差的性质，对于任意常数 a 和 b，以及随机变量 X 和 Y，有：
$D(ax+bY)={a}^{2}D(X)+{b}^{2}D(Y)+2abC_{ov}(X,Y)$
代入 $a=\sqrt {3}$, $b=-2$, $D(X)=3$, $D(Y)=4$, $C_{ov}(X,Y)=-2\sqrt {3}$，得：
$D(\sqrt {3}X-2Y)=3\times 3+4\times 4+2\times \sqrt {3}\times (-2)\times (-2\sqrt {3})$
=9+16+24
=49