根据函数极限的定义证明：(1) lim_(x to 3)(3x-1)=8;

我们来根据函数极限的定义来证明：

$\lim_{x \to 3}(3x - 1) = 8$

一、函数极限的定义回顾

设函数 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 的某个去心邻域内有定义，如果存在一个常数 $ A $，使得对任意给定的正数 $ \varepsilon > 0 $，总存在正数 $ \delta > 0 $，使得当 $ 0 < |x - x_0| < \delta $ 时，就有：

$|f(x) - A| < \varepsilon$

那么称 $ A $ 是函数 $ f(x) $ 当 $ x \to x_0 $ 时的极限，记作：

$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$

二、题目分析

我们要证明：

$\lim_{x \to 3}(3x - 1) = 8$

也就是说，对于任意给定的 $ \varepsilon > 0 $，我们要找到一个 $ \delta > 0 $，使得当 $ 0 < |x - 3| < \delta $ 时，有：

$|(3x - 1) - 8| < \varepsilon$

三、证明过程

我们从不等式：

$|(3x - 1) - 8| < \varepsilon$

开始化简：

$|3x - 9| < \varepsilon$

$3|x - 3| < \varepsilon$

$|x - 3| < \frac{\varepsilon}{3}$

所以，只要我们取：

$\delta = \frac{\varepsilon}{3}$

那么当 $ 0 < |x - 3| < \delta $ 时，就有：

$|f(x) - 8| = |(3x - 1) - 8| = 3|x - 3| < 3 \cdot \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon$

这就满足了函数极限定义的条件。

四、结论

根据极限的定义，我们证明了：

$\boxed{\lim_{x \to 3}(3x - 1) = 8}$