17.（判断题，5.0分）设A为n阶方阵，A*为其伴随矩阵，|A|=(1)/(3)，则|((1)/(4)A)^-1-15A^*|=3.A. 对B. 错

本题考查方阵的行列式性质，解题思路是根据方阵行列式的相关性质逐步化简所求行列式，然后进行计算。

步骤一：根据方阵行列式的性质化简$\left|\left(\frac{1}{4}A\right)^{-1}\right|$

对于$n$阶方阵$A$，有$\left|kA\right| = k^n\left|A\right|$，$\left|A^{-1}\right| = \frac{1}{\left|A\right|}$。
那么$\left|\left(\frac{1}{4}A\right)^{-1}\right| = \frac{1}{\left|\frac{1}{4}A\right|} = \frac{1}{\left(\frac{1}{4}\right)^n\left|A\right|}$。
已知$\left|A\right| = \frac{1}{3}$，$n$阶方阵$A$，则$\left|\left(\frac{1}{4}A\right)^{-1}\right| = \frac{1}{\left(\frac{1}{4}\right)^n\times\frac{1}{3}} = \frac{3}{\left(\frac{1}{4}\right)^n}$。

步骤二：根据方阵行列式的性质化简$\left|15A^{*}\right|$

对于$n$阶方阵$A$，有$\left|A^{*}\right| = \left|A\right|^{n - 1}$。
那么$\left|15A^{*}\right| = 15^n\left|A^{*}\right| = 15^n\left|A\right|^{n - 1}$。
已知$\left|A\right| = \frac{1}{3}$，则$\left|15A^{*}\right| = 15^n\times\left(\frac{1}{3}\right)^{n - 1}$。

步骤三：计算$\left|\left(\frac{1}{4}A\right)^{-1}-15A^{*}\right|$

由于$\left(\frac{1}{4}A\right)^{-1}$与$15A^{*}$一般不满足行列式的加法性质$\left|A + B\right| = \left|A\right| + \left|B\right|$，所以不能直接将$\left|\left(\frac{1}{4}A\right)^{-1}\right|$与$\left|15A^{*}\right|$相加。
我们可以通过特殊情况来判断，假设$n = 1$，$A$为一阶方阵。
此时$\left|\left(\frac{1}{4}A\right)^{-1}\right| = \frac{1}{\left|\frac{1}{4}A\right|} = \frac{1}{\frac{1}{4}\left|A\right|} = \frac{1}{\frac{1}{4}\times\frac{1}{3}} = 12$。
$\left|15A^{*}\right| = 15\left|A\right|^{1 - 1} = 15\times\left(\frac{1}{3}\right)^{0} = 15$。
那么$\left|\left(\frac{1}{4}A\right)^{-1}-15A^{*}\right|$一般不等于$3$。