7.(单选题)已知两个随机变量X,Y均服从高斯分布,下列说法不正确的是()A. 若它们相互独立,则它们不相关B. 若它们不相关,则它们相互独立C. 若它们正交,则它们不相关D. 已知它们的均值都为零,若它们不相关,则它们正交

本题考查高斯分布随机变量的独立性、相关性和正交性之间的关系。解题思路是分别分析每个选项所涉及的概念和性质，根据相关定义和定理来判断其正确性。

选项A

• 首先明确相互独立和不相关的定义。
  • 两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立的定义是对于任意的 $x$ 和 $y$，有 $P(X\leq x, Y\leq y)=P(X\leq x)P(Y\leq y)$。
  • 两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 不相关的定义是 $Cov(X,Y)=E[(X - E(X))(Y - E(Y))]=E(XY)-E(X)E(Y)=0$。
• 若 $X$ 和 $Y$ 相互独立，则对于任意函数 $g(X)$ 和 $h(Y)$，有 $E[g(X)h(Y)] = E[g(X)]E[h(Y)]$。
  • 令 $g(X)=X - E(X)$，$h(Y)=Y - E(Y)$，那么 $E[(X - E(X))(Y - E(Y))]=E(X - E(X))E(Y - E(Y))$。
  • 因为 $E(X - E(X))=E(X)-E(X)=0$，$E(Y - E(Y))=E(Y)-E(Y)=0$，所以 $E[(X - E(X))(Y - E(Y))]=0$，即 $Cov(X,Y)=0$，所以 $X$ 和 $Y$ 不相关。故选项A正确。

选项B

• 对于服从高斯分布的随机变量 $X$ 和 $Y$，有一个重要的性质：若 $X$ 和 $Y$ 均服从高斯分布，且它们不相关（即 $Cov(X,Y)=0$），那么它们的联合概率密度函数可以分解为两个边缘概率密度函数的乘积。
• 联合概率密度函数 $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$，这满足相互独立的定义，所以 $X$ 和 $Y$ 相互独立。故选项B正确。

选项C

• 两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 正交的定义是 $E(XY)=0$。
• 两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 不相关的定义是 $Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0$。
• 当 $E(X)\neq0$ 或 $E(Y)\neq0$ 时，即使 $E(XY)=0$（即 $X$ 和 $Y$ 正交），$E(XY)-E(X)E(Y)$ 也不一定为 $0$，也就是 $X$ 和 $Y$ 不一定不相关。例如，设 $X$ 是一个非零均值的随机变量，$Y = 0$，此时 $E(XY)=E(X\times0)=0$，$X$ 和 $Y$ 正交，但 $Cov(X,Y)=E(X\times0)-E(X)E(0)=0 - E(X)\times0 = 0$ 不成立（因为 $E(X)\neq0$）。所以选项C错误。

选项D

• 已知 $E(X)=0$，$E(Y)=0$，若 $X$ 和 $Y$ 不相关，则 $Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0$。
• 把 $E(X)=0$，$E(Y)=0$ 代入上式，可得 $E(XY)-0\times0 = E(XY)=0$，这满足正交的定义，所以 $X$ 和 $Y$ 正交。故选项D正确。