为研究某一化学反应过程中,温度x(℃)对产品得率Y (%)的影响,-|||-测得数据如下表所示:-|||-温度x(℃) 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190-|||-得率Y(%) 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89-|||-(1)试求产品得率Y关于温度x的线性回归方程;-|||-(2)求a^2的无偏估计:-|||-(3)检验回归效果是否显著( (a=0.05);-|||-(4)求回归系数的置信区间( alpha =0.05.

1. 线性回归方程：考查利用最小二乘法求解回归系数 $\hat{\beta}_1$ 和 $\hat{\beta}_0$，核心公式为 $\hat{\beta}_1 = \frac{L_{xy}}{L_{xx}}$，$\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}$。
2. $\sigma^2$的无偏估计：基于残差平方和 $S_e = \sum (Y_i - \hat{Y}_i)^2$，公式为 $\hat{\sigma}^2 = \frac{S_e}{n-2}$。
3. 回归效果显著性检验：通过$t$检验判断 $\beta_1$ 是否显著不为零，统计量 $t = \frac{\hat{\beta}_1}{\sqrt{\hat{\sigma}^2 / L_{xx}}}$，自由度为 $n-2$。
4. 回归系数置信区间：利用 $t$ 分布构造区间，公式为 $\hat{\beta}_1 \pm t_{\alpha/2}(n-2) \cdot \sqrt{\frac{\hat{\sigma}^2}{L_{xx}}}$。

第（1）题

计算$L_{xx}$和$L_{xy}$

• $L_{xx} = \sum x_i^2 - \frac{1}{n}(\sum x_i)^2 = 8250$
• $L_{xy} = \sum x_i Y_i - \frac{1}{n}(\sum x_i)(\sum Y_i) = 3985$

求回归系数

• $\hat{\beta}_1 = \frac{L_{xy}}{L_{xx}} = \frac{3985}{8250} \approx 0.483$
• $\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{x} = 68.3 - 0.483 \times 145 \approx -2.735$

第（2）题

残差平方和$S_e$

• $S_e = \sum Y_i^2 - \hat{\beta}_1 L_{xy} = 1982.1 - 0.483 \times 3985 \approx 15.48$
• $\hat{\sigma}^2 = \frac{S_e}{n-2} = \frac{15.48}{8} \approx 1.935$

第（3）题

计算$t$统计量

• $t = \frac{\hat{\beta}_1}{\sqrt{\hat{\sigma}^2 / L_{xx}}} = \frac{0.483}{\sqrt{1.935 / 8250}} \approx 45.79$
• 自由度 $8$，查表得临界值 $t_{0.025}(8) = 2.306$，因 $45.79 > 2.306$，拒绝原假设，回归效果显著。

第（4）题

置信区间计算

• 标准误 $\sqrt{\frac{\hat{\sigma}^2}{L_{xx}}} = \sqrt{\frac{1.935}{8250}} \approx 0.016$
• 置信区间：$0.483 \pm 2.306 \times 0.016 \approx [0.459, 0.507]$