题目
设总体，是来自总体X的样本，为未知参数，要使统计量是p的无偏估计量，C=_________。
设总体
，
是来自总体X的样本，
为未知参数，要使统计量
是p的无偏估计量，C=_________。
题目解答
答案
由于总体X服从二项分布(B(n,p))，根据二项分布的性质E(X)=np，所以
根据总体与样本的关系：总体与样本遵循同样的分布。所以
根据期望的性质：E(aX)=aE(X)(a为常数),
所以
将其中数据代入即可求出
根据无偏估计量的性质：估计量的数学期望等于被估计参数的真实值。所以
解出此方程即可求出
解析
步骤 1：确定总体的期望
由于总体$X\sim b(5,p)$，根据二项分布的性质，$E(X)=np$，所以$E(X)=5p$。
步骤 2：确定样本的期望
根据总体与样本的关系，总体与样本遵循同样的分布。所以$E({X}_{1})=E({X}_{2})=E({X}_{3})=E({X}_{4})=5p$。
步骤 3：计算统计量的期望
根据期望的性质，$E(aX)=aE(X)$（a为常数），$E({x}_{1}+{x}_{2}+\cdots +{x}_{n})=E({x}_{1})+E({x}_{2})+\cdots +E({x}_{n})$。所以$E(C({X}_{1}+{X}_{2}+{X}_{3}-{X}_{4}))=C(E({X}_{1})+E({X}_{2})+E({X}_{3})-E({X}_{4}))=C(5p+5p+5p-5p)=10pC$。
步骤 4：确定无偏估计量的条件
根据无偏估计量的性质，估计量的数学期望等于被估计参数的真实值。所以$E(C({X}_{1}+{X}_{2}+{X}_{3}-{X}_{4}))=p$，即$10pC=p$。
步骤 5：求解C的值
解方程$10pC=p$，得到$C=\dfrac{1}{10}$。
由于总体$X\sim b(5,p)$，根据二项分布的性质，$E(X)=np$，所以$E(X)=5p$。
步骤 2：确定样本的期望
根据总体与样本的关系，总体与样本遵循同样的分布。所以$E({X}_{1})=E({X}_{2})=E({X}_{3})=E({X}_{4})=5p$。
步骤 3：计算统计量的期望
根据期望的性质，$E(aX)=aE(X)$（a为常数），$E({x}_{1}+{x}_{2}+\cdots +{x}_{n})=E({x}_{1})+E({x}_{2})+\cdots +E({x}_{n})$。所以$E(C({X}_{1}+{X}_{2}+{X}_{3}-{X}_{4}))=C(E({X}_{1})+E({X}_{2})+E({X}_{3})-E({X}_{4}))=C(5p+5p+5p-5p)=10pC$。
步骤 4：确定无偏估计量的条件
根据无偏估计量的性质，估计量的数学期望等于被估计参数的真实值。所以$E(C({X}_{1}+{X}_{2}+{X}_{3}-{X}_{4}))=p$，即$10pC=p$。
步骤 5：求解C的值
解方程$10pC=p$，得到$C=\dfrac{1}{10}$。