32.（简答题，7.0分）设向量组alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3)线性无关，试证alpha_(1),alpha_(1)+alpha_(2),alpha_(1)+alpha_(2)+alpha_(3)线性无关。

本题考查向量组线性无关的定义及证明方法。解题的关键思路是根据向量组线性无关的定义，设出线性组合等于零的等式，然后通过合并同类项，利用已知向量组的线性无关性得到关于系数的方程组，最后求解方程组判断系数是否全为零。

1. 设存在标量 $k_1,k_2,k_3$，使得 $k_1\alpha_1 + k_2(\alpha_1 + \alpha_2)+k_3(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)=0$。
2. 对等式进行展开并合并同类项：
   • $k_1\alpha_1 + k_2(\alpha_1 + \alpha_2)+k_3(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)=k_1\alpha_1 + k_2\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_1 + k_3\alpha_2 + k_3\alpha_3$。
   • 合并同类项后得到 $(k_1 + k_2 + k_3)\alpha_1+(k_2 + k_3)\alpha_2 + k_3\alpha_3 = 0$。
3. 因为已知向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，根据向量组线性无关的定义，若 $c_1\alpha_1 + c_2\alpha_2 + c_3\alpha_3 = 0$，则 $c_1 = c_2 = c_3 = 0$。
   • 所以对于 $(k_1 + k_2 + k_3)\alpha_1+(k_2 + k_3)\alpha_2 + k_3\alpha_3 = 0$，可得方程组 $\begin{cases}k_1 + k_2 + k_3 = 0\\k_2 + k_3 = 0\\k_3 = 0\end{cases}$。
4. 求解方程组：
   • 由 $k_3 = 0$，将其代入 $k_2 + k_3 = 0$，可得 $k_2+0 = 0$，解得 $k_2 = 0$。
   • 再将 $k_2 = 0$，$k_3 = 0$ 代入 $k_1 + k_2 + k_3 = 0$，可得 $k_1+0 + 0 = 0$，解得 $k_1 = 0$。
   • 综上，解得 $k_1 = k_2 = k_3 = 0$。
5. 根据向量组线性无关的定义，若只有当 $k_1 = k_2 = k_3 = 0$ 时，$k_1\alpha_1 + k_2(\alpha_1 + \alpha_2)+k_3(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)=0$ 才成立，则向量组 $\alpha_1,\alpha_1 + \alpha_2,\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3$ 线性无关。