2 2 3-|||-3.用初等行变换求矩阵A= 1-1 1 的逆矩阵 _(1)-|||-1 2 1

步骤 1：构造增广矩阵
构造增广矩阵 $(A|I)$，其中 $I$ 是单位矩阵，即
$$
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
1 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$

步骤 2：进行初等行变换
首先，将第一行除以2，得到
$$
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\
1 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$
然后，将第二行减去第一行，第三行加上第一行，得到
$$
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\
0 & -2 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1 & 0 \\
0 & 3 & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 1
\end{array}\right)
$$
接着，将第二行乘以-1/2，第三行减去第二行的3倍，得到
$$
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\
0 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 1
\end{array}\right)
$$
然后，将第一行减去第二行，第二行减去第三行的1/4，得到
$$
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & \frac{5}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & -2 & -\frac{1}{4} \\
0 & 0 & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 1
\end{array}\right)
$$
最后，将第一行减去第三行的5/4，得到
$$
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 1 & -4 & -3 \\
0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & -2 & -\frac{1}{4} \\
0 & 0 & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 1
\end{array}\right)
$$

步骤 3：得到逆矩阵
从增广矩阵的右侧部分，我们得到矩阵 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ 为
$$
A^{-1} = \left(\begin{array}{ccc}
1 & -4 & -3 \\
1 & -5 & -3 \\
-1 & 6 & 4
\end{array}\right)
$$