题目

4.[填空题]lim_(ntoinfty)((2)/(3)+(2^2)/(3^2)+...+(2^n)/(3^n))=__.

4.[填空题] $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2}{3}+\frac{2^{2}}{3^{2}}+\cdots+\frac{2^{n}}{3^{n}}\right)=\_\_. $

题目解答

答案

该表达式为等比数列求和，首项 $a = \frac{2}{3}$，公比 $r = \frac{2}{3}$。 等比数列前 $n$ 项和公式为： \[ S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} = \frac{2}{3} \frac{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n}{1 - \frac{2}{3}} = 2\left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n\right) \] 当 $n \to \infty$ 时，$\left(\frac{2}{3}\right)^n \to 0$，故极限为： \[ \lim_{n \to \infty} S_n = 2(1 - 0) = 2 \] **答案：** $\boxed{2}$

解析

考查要点：本题主要考查无穷等比数列求和的应用，需要掌握等比数列求和公式及其在极限情况下的化简。

解题核心思路：

  1. 识别题目中的数列为首项$a=\frac{2}{3}$，公比$r=\frac{2}{3}$的等比数列。
  2. 利用等比数列前$n$项和公式$S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}$，代入已知值化简。
  3. 当$n \to \infty$时，由于$|r| < 1$，$\lim_{n \to \infty} r^n = 0$，从而求得极限值。

破题关键点：

  • 正确识别等比数列的首项和公比。
  • 应用无穷等比数列求和公式：当$|r| < 1$时，$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a}{1 - r}$。

  1. 识别数列类型
    题目中的数列$\frac{2}{3} + \frac{2^2}{3^2} + \cdots + \frac{2^n}{3^n}$是等比数列，首项$a = \frac{2}{3}$，公比$r = \frac{2}{3}$。

  2. 应用等比数列求和公式
    前$n$项和公式为：
    $S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n}{1 - \frac{2}{3}}.$
    化简分母$1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$，得：
    $S_n = \frac{2}{3} \cdot \frac{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n}{\frac{1}{3}} = 2 \left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n\right).$

  3. 求极限
    当$n \to \infty$时，由于$\left|\frac{2}{3}\right| < 1$，$\left(\frac{2}{3}\right)^n \to 0$，因此：
    $\lim_{n \to \infty} S_n = 2 \cdot (1 - 0) = 2.$