23.某地区学生高考个人总分X服从正态分布N(400,100^2 ),在2000名考生中录取了-|||-300名,试问该地区考生被录取至少要考多少分?

考查要点：本题主要考查正态分布的实际应用，涉及标准化转换和百分位数的计算。

解题核心思路：

1. 确定录取比例：2000人中录取300人，对应录取比例为15%。
2. 转化为标准正态分布：将原正态分布转化为标准正态分布，找到对应右侧概率为15%的临界值。
3. 反推原始分数：通过标准化公式，将标准正态分布的临界值转换为原分布的分数。

破题关键点：

• 理解百分位数的意义：被录取的最低分数对应的是高于该分数的人数占15%，即该分数是85%的分位数。
• 正确查表或计算临界值：需准确找到标准正态分布中左侧累积概率为85%的z值。

步骤1：确定录取比例对应的概率

总考生2000人，录取300人，录取比例为：
$\frac{300}{2000} = 15\% = 0.15$
因此，需找到分数$x$，使得：
$P(X \geq x) = 0.15$

步骤2：标准化转换

正态分布$X \sim N(400, 100^2)$的标准正态变量为：
$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 400}{100}$
原概率问题转化为：
$P\left(Z \geq \frac{x - 400}{100}\right) = 0.15$
即：
$P\left(Z \leq \frac{x - 400}{100}\right) = 1 - 0.15 = 0.85$

步骤3：查标准正态分布表

查找标准正态分布表中，左侧累积概率为0.85的z值。通过线性插值可得：
$z \approx 1.036$

步骤4：反推原始分数

将z值代入标准化公式：
$1.036 = \frac{x - 400}{100} \implies x = 400 + 1.036 \times 100 = 503.6$
由于分数需为整数，向上取整得：
$x = 504$