例1.3设总体X服从两点分布B(1,p),即-|||- X=x =(p)^x((1-p))^1-x , =0,1,-|||-其中 lt plt 1, (X1,X2,···,Xn)^T是来自总体X的一个样本,试证 overline (X)=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(X)_(i)-|||-是参数p的充分统计量.

步骤 1：定义总体分布
总体X服从两点分布B(1,p)，即 $P\{ X=x\} ={p}^{x}{(1-p)}^{1-x}$ , $x=0,1$ , 其中 $0\lt p\lt 1$ 。

步骤 2：定义样本和样本均值
设 $(X_1, X_2, \cdots, X_n)^T$ 是来自总体X的一个样本，样本均值为 $X=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$ 。

步骤 3：计算样本均值的分布
由于每个 $X_i$ 都服从两点分布B(1,p)，则 $\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$ 服从二项分布B(n,p)。因此，$n\overline{X} = \sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$ 服从二项分布B(n,p)。

步骤 4：计算样本均值的条件概率
设 $(x_1, x_2, \cdots, x_n)^T$ 为样本值，其中 $x_i=0$ 或1。当已知 $\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}=k$ 时，样本 $(X_1, X_2, \cdots, X_n)^T$ 的条件概率为：
$P\{ {X}_{1}={x}_{1},{X}_{2}={x}_{2},\cdots ,{X}_{n}={x}_{n}|\overline {X}=\dfrac {k}{n}\} = \dfrac{P\{ {X}_{1}={x}_{1},{X}_{2}={x}_{2},\cdots ,{X}_{n}={x}_{n},\overline {X}=\dfrac {k}{n}\}}{P\{ \overline {X}=\dfrac {k}{n}\}}$
$= \dfrac{P\{ {X}_{1}={x}_{1},{X}_{2}={x}_{2},\cdots ,{X}_{n}={x}_{n}\}}{P\{ \overline {X}=\dfrac {k}{n}\}}$
$= \dfrac{{p}^{k}{(1-p)}^{n-k}}{{C}_{n}^{k}{p}^{k}{(1-p)}^{n-k}}$
$= \dfrac{1}{{C}_{n}^{k}}$

步骤 5：证明充分统计量
由于样本均值的条件概率与参数p无关，所以 $X=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$ 是参数p的充分统计量。