如果矩阵A的秩等于r，则()。A. 至多有一个r阶子式不为零B. 所有r阶子式都不为零C. 所有r+1阶子式全为零，而至少有一个r阶子式不为零D. 所有低于r阶子式都不为零

矩阵的秩是矩阵中非零子式的最高阶数。若矩阵A的秩为r，则：

1. 所有r+1阶子式必为零（否则秩至少为r+1）；
2. 至少存在一个r阶子式不为零（否则秩不会达到r）。

选项需同时满足这两个条件。其他选项的错误点在于对子式数量或阶数的错误限制。

选项分析

选项A

“至多有一个r阶子式不为零”

• 错误。矩阵中可能存在多个r阶子式不为零。例如，秩为2的矩阵中，不同行、列组合的2阶子式均可非零。

选项B

“所有r阶子式都不为零”

• 错误。秩为r只需存在至少一个r阶子式非零，其他r阶子式可以为零。

选项C

“所有r+1阶子式全为零，而至少有一个r阶子式不为零”

• 正确。根据秩的定义，r+1阶子式全为零（否则秩更高），且至少有一个r阶子式非零。

选项D

“所有低于r阶子式都不为零”

• 错误。低于r阶的子式可能为零，例如秩为2的矩阵中可能存在1阶子式（元素）为零。