18 二维随机变量(X,Y)服从区域G=(x,y)mid 0le xle 2,0le yle 2上的均匀分布.求Z=X-Y的概率密度.
题目解答
答案
设 $(X, Y)$ 在正方形区域 $G = \{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 2\}$ 上服从均匀分布，概率密度函数为 $f(x, y) = \frac{1}{4}$。令 $Z = X - Y$，则 $Z$ 的概率密度函数 $f_Z(z)$ 可通过卷积公式求得：
$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, x-z) \, dx$
其中，$f(x, y) = \frac{1}{4}$ 当 $0 \leq x \leq 2$ 且 $0 \leq y \leq 2$。积分范围为 $x$ 满足 $0 \leq x \leq 2$ 且 $0 \leq x - z \leq 2$，即 $\max(0, z) \leq x \leq \min(2, z+2)$。因此，
$f_Z(z) = \frac{1}{4} \left( \min(2, z+2) - \max(0, z) \right)$
分情况讨论：
- 当 $-2 \leq z < 0$ 时，$f_Z(z) = \frac{z+2}{4}$；
- 当 $0 \leq z \leq 2$ 时，$f_Z(z) = \frac{2-z}{4}$；
- 当 $z < -2$ 或 $z > 2$ 时，$f_Z(z) = 0$。
答案：
$\boxed{\begin{cases} \frac{z + 2}{4} & \text{若 } -2 \leq z < 0, \\ \frac{2 - z}{4} & \text{若 } 0 \leq z \leq 2, \\ 0 & \text{其他情况}. \end{cases}}$
或等价表示：
$\boxed{\begin{cases} \frac{2 - |z|}{4} & \text{若 } -2 \leq z \leq 2, \\ 0 & \text{其他情况}. \end{cases}}$
解析
本题考查二维随机变量均匀分布下的概率密度求解，解题思路是先确定随机变量的概率密度函数，再通过卷积公式计算新随机变量的概率密度函数，最后根据积分范围分情况讨论得出结果。
- 确定随机变量$(X,Y)$的概率密度函数：
已知$(X,Y)$服从区域$G=\left\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,0\le y\le 2\right\}$上的均匀分布，根据均匀分布的概率密度公式$f(x,y)=\frac{1}{S}$（其中$S$是区域的面积），可得$f(x,y)=\frac{1}{4}$，其中$0\le x\le 2$且$0\le y\le 2$。 - 计算$Z = X - Y$的概率密度函数$f_Z(z)$：
根据卷积公式$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, x - z) \, dx$，其中$f(x,y)=\frac{1}{4}$当$0\le x\le 2$且$0\le y\le 2$。
积分范围为$x$满足$0\le x\le 2$且$0\le x - z\le 2$，即$\max(0, z) \le x \le \min(2, z + 2)$。
因此，$f_Z(z)=\frac{1}{4} \left( \min(2, z + 2) - \max(0, z) \right)$。 - 分情况讨论：
- 当$-2 \le z < 0$时：
$\max(0, z)=0$，$\min(2, z + 2)=z + 2$，则$f_Z(z)=\frac{z + 2}{4}$。 - 当$0 \le z \le 2$时：
$\max(0, z)=z$，$\min(2, z + 2)=2$，则$f_Z(z)=\frac{2 - z}{4}$。 - 当$z < -2$或$z > 2$时：
$\max(0, z)$和$\min(2, z + 2)$使得$\min(2, z + 2) - \max(0, z)=0$，则$f_Z(z)=0$。
- 当$-2 \le z < 0$时：