设 X_1, ..., X_n 为总体 U(-theta, theta) 的样本,则 theta ( > 0) 的最大似然估计为_。A. max x_1, ..., x_n B. max |x_1|, ..., |x_n| C. min x_1, ..., x_n D. min |x_1|, ..., |x_n|

步骤 1：定义似然函数
似然函数是给定观察到的数据时参数的联合概率密度函数。对于均匀分布$U(-\theta, \theta)$，概率密度函数$f(x; \theta)$由下式给出： \[ f(x; \theta) = \frac{1}{2\theta} \quad \text{对于} \quad -\theta \leq x \leq \theta \] 给定一个样本$X_1, X_2, \ldots, X_n$，似然函数$L(\theta)$是各个密度的乘积： \[ L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(X_i; \theta) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{2\theta} = \left(\frac{1}{2\theta}\right)^n \] 这个乘积只有在所有$X_i$都在区间$[- \theta, \theta]$内时才有效。因此，似然函数也受以下条件的约束： \[ -\theta \leq X_i \leq \theta \quad \text{对于所有} \quad i = 1, 2, \ldots, n \] 这可以重写为： \[ \theta \geq \max\{|X_1|, |X_2|, \ldots, |X_n|\} \]

步骤 2：最大化似然函数
似然函数$L(\theta) = \left(\frac{1}{2\theta}\right)^n$是$\theta$的递减函数。因此，为了最大化似然函数，我们应该选择满足约束条件的$\theta$的最小可能值。满足约束条件的$\theta$的最小值是$\max\{|X_1|, |X_2|, \ldots, |X_n|\}$。

步骤 3：确定最大似然估计
因此，$\theta$的最大似然估计为： \[ \hat{\theta} = \max\{|X_1|, |X_2|, \ldots, |X_n|\} \]