题目

一.单选题（共2题，10分）1.（单选题，5分）设X，Y为两个随机变量，且D(X)=1，D(Y)=4，Cov(X,Y)=1，令Z₁=X-2Y，Z₂=2X-Y，则Z₁与Z₂的相关系数为（）.A 0B 1C (5)/(sqrt(13))D (5)/(2sqrt(13))

一.单选题（共2题，10分） 1.（单选题，5分） 设X，Y为两个随机变量，且D(X)=1，D(Y)=4，Cov(X,Y)=1，令Z₁=X-2Y，Z₂=2X-Y，则Z₁与Z₂的相关系数为（）. A 0 B 1 C $\frac{5}{\sqrt{13}}$ D $\frac{5}{2\sqrt{13}}$

题目解答

答案

设 $Z_1 = X - 2Y$，$Z_2 = 2X - Y$，已知 $D(X) = 1$，$D(Y) = 4$，$Cov(X, Y) = 1$。

  1. 计算 $Cov(Z_1, Z_2)$：
    $Cov(Z_1, Z_2) = Cov(X - 2Y, 2X - Y) = 2Cov(X, X) - Cov(X, Y) - 4Cov(Y, X) + 2Cov(Y, Y) = 2 \times 1 - 1 - 4 \times 1 + 2 \times 4 = 5$

  2. 计算 $D(Z_1)$：
    $D(Z_1) = D(X - 2Y) = D(X) + 4D(Y) - 4Cov(X, Y) = 1 + 16 - 4 = 13$

  3. 计算 $D(Z_2)$：
    $D(Z_2) = D(2X - Y) = 4D(X) + D(Y) - 4Cov(X, Y) = 4 + 4 - 4 = 4$

  4. 计算相关系数：
    $\rho_{Z_1, Z_2} = \frac{Cov(Z_1, Z_2)}{\sqrt{D(Z_1)D(Z_2)}} = \frac{5}{\sqrt{13 \times 4}} = \frac{5}{2\sqrt{13}}$

答案： $\boxed{D}$

解析

本题主要考查随机变量的协方差、方差以及相关系数的计算。解题的关键在于熟练运用协方差和方差的性质来分别计算$Cov(Z_1, Z_2)$、$D(Z_1)$和$D(Z_2)$，最后根据相关系数的定义求出$\rho_{Z_1, Z_2}$。

  1. 计算$Cov(Z_1, Z_2)$：
    已知$Z_1 = X - 2Y$，$Z_2 = 2X - Y$，根据协方差的性质$Cov(aX + bY, cM + dN)=acCov(X, M)+adCov(X, N)+bcCov(Y, M)+bdCov(Y, N)$，可得：
    $Cov(Z_1, Z_2) = Cov(X - 2Y, 2X - Y)$
    $= 2Cov(X, X) - Cov(X, Y) - 4Cov(Y, X) + 2Cov(Y, Y)$
    因为$Cov(X, X)=D(X)$，$Cov(Y, Y)=D(Y)$，且已知$D(X) = 1$，$D(Y) = 4$，$Cov(X, Y) = 1$，代入上式可得：
    $Cov(Z_1, Z_2)= 2\times1 - 1 - 4\times1 + 2\times4$
    $= 2 - 1 - 4 + 8$
    $= 5$
  2. 计算$D(Z_1)$：
    根据方差的性质$D(aX + bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2abCov(X, Y)$，对于$Z_1 = X - 2Y$，有：
    $D(Z_1) = D(X - 2Y)$
    $= D(X) + (-2)^2D(Y) + 2\times1\times(-2)Cov(X, Y)$
    $= D(X) + 4D(Y) - 4Cov(X, Y)$
    将$D(X) = 1$，$D(Y) = 4$，$Cov(X, Y) = 1$代入上式可得：
    $D(Z_1)= 1 + 4\times4 - 4\times1$
    $= 1 + 16 - 4$
    $= 13$
  3. 计算$D(Z_2)$：
    同样根据方差的性质，对于$Z_2 = 2X - Y$，有：
    $D(Z_2) = D(2X - Y)$
    $= 2^2D(X) + (-1)^2D(Y) + 2\times2\times(-1)Cov(X, Y)$
    $= 4D(X) + D(Y) - 4Cov(X, Y)$
    将$D(X) = 1$，$D(Y) = 4$，$Cov(X, Y) = 1$代入上式可得：
    $D(Z_2)= 4\times1 + 4 - 4\times1$
    $= 4 + 4 - 4$
    $= 4$
  4. 计算相关系数$\rho_{Z_1, Z_2}$：
    根据相关系数的定义$\rho_{Z_1, Z_2} = \frac{Cov(Z_1, Z_2)}{\sqrt{D(Z_1)D(Z_2)}}$，将$Cov(Z_1, Z_2)= 5$，$D(Z_1)= 13$，$D(Z_2)= 4$代入可得：
    $\rho_{Z_1, Z_2} = \frac{5}{\sqrt{13\times4}}$
    $= \frac{5}{2\sqrt{13}}$