题目
1. (10分)已知某炼铁厂的铁水含碳量服从正态分布N(4.55,0.108^2)，现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484。如果估计方差没有变化，能否认为现在生产的铁水平均含碳量为4.55(a=0.05)?
1. (10分)已知某炼铁厂的铁水含碳量服从正态分布$N(4.55,0.108^{2})$，现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484。如果估计方差没有变化，能否认为现在生产的铁水平均含碳量为4.55(a=0.05)?
题目解答
答案
**解：**
1. **建立假设：**
$H_0: \mu = 4.55$（原假设），$H_1: \mu \neq 4.55$（备择假设）。
2. **计算检验统计量：**
\[
Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{4.484 - 4.55}{0.108 / 3} = -1.8333
\]
3. **确定临界值：**
对于双侧检验，$\alpha = 0.05$，临界值 $Z_{0.025} = 1.96$。
4. **比较统计量与临界值：**
$|Z| = 1.8333 < 1.96$，不拒绝 $H_0$。
5. **计算P值：**
$P = 2 \times P(Z < -1.8333) \approx 0.0668 > 0.05$，不拒绝 $H_0$。
**结论：**
不能拒绝原假设，即认为现在生产的铁水平均含碳量为4.55。
\[
\boxed{
\begin{array}{l}
H_0: \mu = 4.55, \quad H_1: \mu \neq 4.55 \\
Z = -1.8333, \quad |Z| < Z_{0.025}, \quad P \approx 0.0668 > 0.05 \\
\text{不能拒绝原假设}
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：建立假设
- 原假设 $H_0: \mu = 4.55$，即铁水含碳量的平均值为4.55。
- 备择假设 $H_1: \mu \neq 4.55$，即铁水含碳量的平均值不为4.55。
步骤 2：计算检验统计量
- 样本平均值 $\bar{X} = 4.484$，总体均值 $\mu_0 = 4.55$，总体标准差 $\sigma = 0.108$，样本容量 $n = 9$。
- 检验统计量 $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{4.484 - 4.55}{0.108 / \sqrt{9}} = \frac{-0.066}{0.108 / 3} = \frac{-0.066}{0.036} = -1.8333$。
步骤 3：确定临界值
- 对于双侧检验，$\alpha = 0.05$，临界值 $Z_{0.025} = 1.96$。
步骤 4：比较统计量与临界值
- $|Z| = 1.8333 < 1.96$，不拒绝原假设 $H_0$。
步骤 5：计算P值
- $P = 2 \times P(Z < -1.8333) \approx 0.0668 > 0.05$，不拒绝原假设 $H_0$。
- 原假设 $H_0: \mu = 4.55$，即铁水含碳量的平均值为4.55。
- 备择假设 $H_1: \mu \neq 4.55$，即铁水含碳量的平均值不为4.55。
步骤 2：计算检验统计量
- 样本平均值 $\bar{X} = 4.484$，总体均值 $\mu_0 = 4.55$，总体标准差 $\sigma = 0.108$，样本容量 $n = 9$。
- 检验统计量 $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{4.484 - 4.55}{0.108 / \sqrt{9}} = \frac{-0.066}{0.108 / 3} = \frac{-0.066}{0.036} = -1.8333$。
步骤 3：确定临界值
- 对于双侧检验，$\alpha = 0.05$，临界值 $Z_{0.025} = 1.96$。
步骤 4：比较统计量与临界值
- $|Z| = 1.8333 < 1.96$，不拒绝原假设 $H_0$。
步骤 5：计算P值
- $P = 2 \times P(Z < -1.8333) \approx 0.0668 > 0.05$，不拒绝原假设 $H_0$。