题目
[题目]某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距-|||-离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大-|||-阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg-|||-的飞机,着陆时的水平速度为 /h, 经测试,减-|||-速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正-|||-比(比例系数为 =6.0times (10)^6. 问从着陆点算起,飞机-|||-滑行的最长距离是多少?-|||-(注:kg表示千克, km/h 表示千米/小时)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定飞机的初始速度
飞机着陆时的水平速度为700km/h，需要将其转换为m/s。
$$
v_0 = 700 \times \frac{1000}{3600} = \frac{700000}{3600} = 194.44 \text{ m/s}
$$
步骤 2：建立运动方程
根据牛顿第二定律，飞机受到的阻力与速度成正比，即 $F = -kv$，其中 $k = 6.0 \times 10^6$。因此，加速度 $a$ 为：
$$
a = \frac{F}{m} = -\frac{k}{m}v
$$
步骤 3：求解运动方程
将加速度 $a$ 代入运动方程 $a = \frac{dv}{dt}$，得到：
$$
\frac{dv}{dt} = -\frac{k}{m}v
$$
这是一个一阶线性微分方程，解得：
$$
v(t) = v_0 e^{-\frac{k}{m}t}
$$
步骤 4：求解滑行距离
将速度 $v(t)$ 代入 $v = \frac{dx}{dt}$，得到：
$$
\frac{dx}{dt} = v_0 e^{-\frac{k}{m}t}
$$
积分得到滑行距离 $x(t)$：
$$
x(t) = \int_0^t v_0 e^{-\frac{k}{m}t} dt = -\frac{mv_0}{k} e^{-\frac{k}{m}t} \Big|_0^t = \frac{mv_0}{k} (1 - e^{-\frac{k}{m}t})
$$
当 $t \to \infty$ 时，$x(t) \to \frac{mv_0}{k}$，即滑行的最长距离为：
$$
x_{\text{max}} = \frac{mv_0}{k}
$$
步骤 5：计算最长滑行距离
代入已知数值：
$$
x_{\text{max}} = \frac{9000 \times 194.44}{6.0 \times 10^6} = 292 \text{ m}
$$
飞机着陆时的水平速度为700km/h，需要将其转换为m/s。
$$
v_0 = 700 \times \frac{1000}{3600} = \frac{700000}{3600} = 194.44 \text{ m/s}
$$
步骤 2：建立运动方程
根据牛顿第二定律，飞机受到的阻力与速度成正比，即 $F = -kv$，其中 $k = 6.0 \times 10^6$。因此，加速度 $a$ 为：
$$
a = \frac{F}{m} = -\frac{k}{m}v
$$
步骤 3：求解运动方程
将加速度 $a$ 代入运动方程 $a = \frac{dv}{dt}$，得到：
$$
\frac{dv}{dt} = -\frac{k}{m}v
$$
这是一个一阶线性微分方程，解得：
$$
v(t) = v_0 e^{-\frac{k}{m}t}
$$
步骤 4：求解滑行距离
将速度 $v(t)$ 代入 $v = \frac{dx}{dt}$，得到：
$$
\frac{dx}{dt} = v_0 e^{-\frac{k}{m}t}
$$
积分得到滑行距离 $x(t)$：
$$
x(t) = \int_0^t v_0 e^{-\frac{k}{m}t} dt = -\frac{mv_0}{k} e^{-\frac{k}{m}t} \Big|_0^t = \frac{mv_0}{k} (1 - e^{-\frac{k}{m}t})
$$
当 $t \to \infty$ 时，$x(t) \to \frac{mv_0}{k}$，即滑行的最长距离为：
$$
x_{\text{max}} = \frac{mv_0}{k}
$$
步骤 5：计算最长滑行距离
代入已知数值：
$$
x_{\text{max}} = \frac{9000 \times 194.44}{6.0 \times 10^6} = 292 \text{ m}
$$