题目
2022年11月21日，我国迄今水下考古发现的体量最大的木质沉船长江口二号古船，在长江口横沙水域成功整体打捞出水，上海市文物局会同交通运输部上海打捞局，集成先进的打捞工艺、技术路线、设备制造，最终研究并形成了世界首创的“弧形梁非接触文物整体迁移技术”来打捞这艘古船．这是全新的打捞解决方案，创造性地融合了核电弧形梁加工工艺、隧道盾构掘进工艺、沉管隧道对接工艺，并运用液压同步提升技术，综合监控系统等先进的高新技术．这些技术也是首次应用于文物保护和考古领域．近年来，随着科学技术的发展，越来越多的古迹具备了发掘的条件，然而相关考古专业人才却严重不足．某调查机构为了解高三学生在志愿填报时对考古专业的态度，在某中学高三年级的1200名男生和800名女生中按比例分配的分层，随机抽取20名学生进行了调查，调查结果如表： 不填报 填报 非第一志愿填报 第一志愿填报 男生 x 5 2 女生 y 1 0 （1）完成列联表，并依据小概率值α=0.05的独立性检验判断是否可以认为该校学生填报志愿时“是否填报考古专业”与性别有关联？ 男生 女生 总计 不填报 填报 总计 20 （2）从抽出的男生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名男生中“第一志愿填报考古专业”和“非第一志愿填报考古专业”人数差的绝对值，求X的数学期望．附：(χ^2)=((（a+b+c+d）{{（ad-bc）)^2}})/((（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）))． α 0.05 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828
2022年11月21日，我国迄今水下考古发现的体量最大的木质沉船长江口二号古船，在长江口横沙水域成功整体打捞出水，上海市文物局会同交通运输部上海打捞局，集成先进的打捞工艺、技术路线、设备制造，最终研究并形成了世界首创的“弧形梁非接触文物整体迁移技术”来打捞这艘古船．这是全新的打捞解决方案，创造性地融合了核电弧形梁加工工艺、隧道盾构掘进工艺、沉管隧道对接工艺，并运用液压同步提升技术，综合监控系统等先进的高新技术．这些技术也是首次应用于文物保护和考古领域．近年来，随着科学技术的发展，越来越多的古迹具备了发掘的条件，然而相关考古专业人才却严重不足．某调查机构为了解高三学生在志愿填报时对考古专业的态度，在某中学高三年级的1200名男生和800名女生中按比例分配的分层，随机抽取20名学生进行了调查，调查结果如表：
（1）完成列联表，并依据小概率值α=0.05的独立性检验判断是否可以认为该校学生填报志愿时“是否填报考古专业”与性别有关联？
（2）从抽出的男生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名男生中“第一志愿填报考古专业”和“非第一志愿填报考古专业”人数差的绝对值，求X的数学期望．
附：${χ^2}=\frac{{（a+b+c+d）{{（ad-bc）}^2}}}{{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}}$．
| 不填报 | 填报 | ||
| 非第一志愿填报 | 第一志愿填报 | ||
| 男生 | x | 5 | 2 |
| 女生 | y | 1 | 0 |
| 男生 | 女生 | 总计 | |
| 不填报 | |||
| 填报 | |||
| 总计 | 20 |
附：${χ^2}=\frac{{（a+b+c+d）{{（ad-bc）}^2}}}{{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}}$．
| α | 0.05 | 0.010 | 0.001 |
| xα | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
题目解答
答案
解：（1）设抽取的20人中，男、女生人数分别为n1，n2，
则$\left\{{\begin{array}{l}{{n_1}=\frac{{20×1200}}{{2000}}=12}\\{{n_2}=\frac{{20×800}}{{2000}}=8}\end{array}}\right.$，
所以x=12-5-2=5，y=8-1-0=7．
填写列联表如下：
零假设为H0：“是否填报考古专业”与性别无关联．
根据列联表中的数据，经计算得到${χ^2}=\frac{{20×{{（5×1-7×7）}^2}}}{{12×8×8×12}}≈4.201＞3.841={x_{0.05}}$．
根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为“是否填报考古专业”与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．
（2）X的可能取值为0，1，2，3，
计算$P（X=0）=\frac{{C_5^3+C_5^1C_5^1C_2^1}}{{C_{12}^3}}=\frac{{60}}{{220}}$；
$P（X=1）=\frac{{C_5^1C_2^2+C_5^2C_2^1+C_5^2C_2^1+C_5^2C_5^1}}{{C_{12}^3}}=\frac{{95}}{{220}}$；
$P（X=2）=\frac{{C_5^1C_2^2+C_5^1C_5^2}}{{C_{12}^3}}=\frac{{55}}{{220}}$；
$P（X=3）=\frac{{C_5^3}}{{C_{12}^3}}=\frac{{10}}{{220}}$．
所以$E（X）=0×\frac{{60}}{{220}}+1×\frac{{95}}{{220}}+2×\frac{{55}}{{220}}+3×\frac{{10}}{{220}}=\frac{{47}}{{44}}$．
则$\left\{{\begin{array}{l}{{n_1}=\frac{{20×1200}}{{2000}}=12}\\{{n_2}=\frac{{20×800}}{{2000}}=8}\end{array}}\right.$，
所以x=12-5-2=5，y=8-1-0=7．
填写列联表如下：
| 男生 | 女生 | 总计 | |
| 不填报 | 5 | 7 | 12 |
| 填报 | 7 | 1 | 8 |
| 总计 | 12 | 8 | 20 |
根据列联表中的数据，经计算得到${χ^2}=\frac{{20×{{（5×1-7×7）}^2}}}{{12×8×8×12}}≈4.201＞3.841={x_{0.05}}$．
根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为“是否填报考古专业”与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．
（2）X的可能取值为0，1，2，3，
计算$P（X=0）=\frac{{C_5^3+C_5^1C_5^1C_2^1}}{{C_{12}^3}}=\frac{{60}}{{220}}$；
$P（X=1）=\frac{{C_5^1C_2^2+C_5^2C_2^1+C_5^2C_2^1+C_5^2C_5^1}}{{C_{12}^3}}=\frac{{95}}{{220}}$；
$P（X=2）=\frac{{C_5^1C_2^2+C_5^1C_5^2}}{{C_{12}^3}}=\frac{{55}}{{220}}$；
$P（X=3）=\frac{{C_5^3}}{{C_{12}^3}}=\frac{{10}}{{220}}$．
所以$E（X）=0×\frac{{60}}{{220}}+1×\frac{{95}}{{220}}+2×\frac{{55}}{{220}}+3×\frac{{10}}{{220}}=\frac{{47}}{{44}}$．
解析
步骤 1：计算男生和女生的样本量
设抽取的20人中，男、女生人数分别为n_1，n_2，
则$\left\{{\begin{array}{l}{{n_1}=\frac{{20×1200}}{{2000}}=12}\\{{n_2}=\frac{{20×800}}{{2000}}=8}\end{array}}\right.$，
所以x=12-5-2=5，y=8-1-0=7．
步骤 2：填写列联表
男生
女生
总计
不填报
5
7
12
填报
7
1
8
总计
12
8
20
步骤 3：进行独立性检验
零假设为H_0：“是否填报考古专业”与性别无关联．
根据列联表中的数据，经计算得到${χ^2}=\frac{{20×{{（5×1-7×7）}^2}}}{{12×8×8×12}}≈4.201＞3.841={x_{0.05}}$．
根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H_0不成立，
即认为“是否填报考古专业”与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．
【答案】
男生
女生
总计
不填报
5
7
12
填报
7
1
8
总计
12
8
20
可以认为该校学生填报志愿时“是否填报考古专业”与性别有关联．
（2）接下来，我们计算X的数学期望。
【解析】
步骤 1：确定X的可能取值
X的可能取值为0，1，2，3，
步骤 2：计算X的各个取值的概率
$P（X=0）=\frac{{C_5^3+C_5^1C_5^1C_2^1}}{{C_{12}^3}}=\frac{{60}}{{220}}$；
$P（X=1）=\frac{{C_5^1C_2^2+C_5^2C_2^1+C_5^2C_2^1+C_5^2C_5^1}}{{C_{12}^3}}=\frac{{95}}{{220}}$；
$P（X=2）=\frac{{C_5^1C_2^2+C_5^1C_5^2}}{{C_{12}^3}}=\frac{{55}}{{220}}$；
$P（X=3）=\frac{{C_5^3}}{{C_{12}^3}}=\frac{{10}}{{220}}$．
步骤 3：计算X的数学期望
$E（X）=0×\frac{{60}}{{220}}+1×\frac{{95}}{{220}}+2×\frac{{55}}{{220}}+3×\frac{{10}}{{220}}=\frac{{47}}{{44}}$．
设抽取的20人中，男、女生人数分别为n_1，n_2，
则$\left\{{\begin{array}{l}{{n_1}=\frac{{20×1200}}{{2000}}=12}\\{{n_2}=\frac{{20×800}}{{2000}}=8}\end{array}}\right.$，
所以x=12-5-2=5，y=8-1-0=7．
步骤 2：填写列联表
男生
女生
总计
不填报
5
7
12
填报
7
1
8
总计
12
8
20
步骤 3：进行独立性检验
零假设为H_0：“是否填报考古专业”与性别无关联．
根据列联表中的数据，经计算得到${χ^2}=\frac{{20×{{（5×1-7×7）}^2}}}{{12×8×8×12}}≈4.201＞3.841={x_{0.05}}$．
根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H_0不成立，
即认为“是否填报考古专业”与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．
【答案】
男生
女生
总计
不填报
5
7
12
填报
7
1
8
总计
12
8
20
可以认为该校学生填报志愿时“是否填报考古专业”与性别有关联．
（2）接下来，我们计算X的数学期望。
【解析】
步骤 1：确定X的可能取值
X的可能取值为0，1，2，3，
步骤 2：计算X的各个取值的概率
$P（X=0）=\frac{{C_5^3+C_5^1C_5^1C_2^1}}{{C_{12}^3}}=\frac{{60}}{{220}}$；
$P（X=1）=\frac{{C_5^1C_2^2+C_5^2C_2^1+C_5^2C_2^1+C_5^2C_5^1}}{{C_{12}^3}}=\frac{{95}}{{220}}$；
$P（X=2）=\frac{{C_5^1C_2^2+C_5^1C_5^2}}{{C_{12}^3}}=\frac{{55}}{{220}}$；
$P（X=3）=\frac{{C_5^3}}{{C_{12}^3}}=\frac{{10}}{{220}}$．
步骤 3：计算X的数学期望
$E（X）=0×\frac{{60}}{{220}}+1×\frac{{95}}{{220}}+2×\frac{{55}}{{220}}+3×\frac{{10}}{{220}}=\frac{{47}}{{44}}$．