题目

设随机变量X_(1)，X_(2)独立同分布(方差大于零)，令X=X_(1)+aX_(2)，Y=X_(1)+bX_(2)(a，b≠0)，如果X，Y不相关，则有（）A a和b可以是任意常数B a和b互为负倒数C a和b一定相等D a和b互为倒数

设随机变量$X_{1}$，$X_{2}$独立同分布(方差大于零)，令$X=X_{1}+aX_{2}$，$Y=X_{1}+bX_{2}$(a，b≠0)，如果X，Y不相关，则有（） A a和b可以是任意常数 B a和b互为负倒数 C a和b一定相等 D a和b互为倒数

题目解答

答案

根据题意，我们需要判断随机变量 $X$ 和 $Y$ 不相关时，常数 $a$ 和 $b$ 之间的关系。

推理过程如下：

  1. 理解已知条件：

    • 随机变量 $X_1, X_2$ 独立同分布。
    • 它们的方差大于零，设 $Var(X_1) = Var(X_2) = \sigma^2$，且 $\sigma^2 > 0$。
    • 因为 $X_1, X_2$ 独立，所以它们的协方差 $Cov(X_1, X_2) = 0$。
    • 定义了新的随机变量 $X = X_1 + aX_2$ 和 $Y = X_1 + bX_2$。
    • 已知 $X, Y$ 不相关，这意味着它们的协方差为零，即 $Cov(X, Y) = 0$。

  2. 计算协方差 $Cov(X, Y)$：
    根据协方差的性质，我们可以展开 $Cov(X, Y)$：
    $Cov(X, Y) = Cov(X_1 + aX_2, X_1 + bX_2)$
    利用协方差的双线性性质（即 $Cov(A+B, C+D) = Cov(A,C) + Cov(A,D) + Cov(B,C) + Cov(B,D)$），展开上式：
    $Cov(X, Y) = Cov(X_1, X_1) + Cov(X_1, bX_2) + Cov(aX_2, X_1) + Cov(aX_2, bX_2)$

  3. 化简各项：

    • $Cov(X_1, X_1) = Var(X_1) = \sigma^2$
    • $Cov(X_1, bX_2) = b \cdot Cov(X_1, X_2) = b \cdot 0 = 0$ （因为 $X_1, X_2$ 独立）
    • $Cov(aX_2, X_1) = a \cdot Cov(X_2, X_1) = a \cdot 0 = 0$ （因为 $X_1, X_2$ 独立）
    • $Cov(aX_2, bX_2) = a \cdot b \cdot Cov(X_2, X_2) = ab \cdot Var(X_2) = ab\sigma^2$

  4. 得出协方差表达式：
    将上述结果代入展开式中：
    $Cov(X, Y) = \sigma^2 + 0 + 0 + ab\sigma^2 = \sigma^2(1 + ab)$

  5. 利用不相关条件求解：
    因为 $X$ 和 $Y$ 不相关，所以 $Cov(X, Y) = 0$。
    即：$\sigma^2(1 + ab) = 0$
    题目已知方差大于零（$\sigma^2 > 0$），因此必须有：
    $1 + ab = 0$
    解得：
    $ab = -1$

  6. 结论：
    由 $ab = -1$ 可知，$a$ 和 $b$ 互为负倒数。

对比选项：
A. $a$ 和 $b$ 可以是任意常数（错误）
B. $a$ 和 $b$ 互为负倒数（正确）
C. $a$ 和 $b$ 一定相等（错误）
D. $a$ 和 $b$ 互为倒数（错误）

因此，正确答案是 B。