题目
设随机变量 X sim N(2,4)，且 P2 leq X leq 4 = 0.4，则 PX A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4
设随机变量 $X \sim N(2,4)$，且 $P\{2 \leq X \leq 4\} = 0.4$，则 $P\{X < 0\} = \_\_\_\_$。
A. 0.1
B. 0.2
C. 0.3
D. 0.4
题目解答
答案
A. 0.1
解析
步骤 1：标准化随机变量
将随机变量 $X$ 标准化为 $Z = \frac{X - 2}{2}$，则 $Z \sim N(0, 1)$。这是因为 $X$ 的均值为 2，方差为 4，所以标准差为 2。标准化后的随机变量 $Z$ 将具有均值 0 和方差 1 的标准正态分布。
步骤 2：计算 $P\{0 \le Z \le 1\}$
已知 $P\{2 \le X \le 4\} = 0.4$，转换为标准正态分布得：\[ P\{0 \le Z \le 1\} = \Phi(1) - \Phi(0) = \Phi(1) - 0.5 = 0.4 \] 其中 $\Phi(x)$ 表示标准正态分布的累积分布函数。由此可得 $\Phi(1) = 0.9$。
步骤 3：计算 $P\{X < 0\}$
求 $P\{X < 0\}$：\[ P\{X < 0\} = P\{Z < -1\} = 1 - \Phi(1) = 1 - 0.9 = 0.1 \] 因为 $Z$ 是标准正态分布，所以 $P\{Z < -1\}$ 等于 $1 - \Phi(1)$。
将随机变量 $X$ 标准化为 $Z = \frac{X - 2}{2}$，则 $Z \sim N(0, 1)$。这是因为 $X$ 的均值为 2，方差为 4，所以标准差为 2。标准化后的随机变量 $Z$ 将具有均值 0 和方差 1 的标准正态分布。
步骤 2：计算 $P\{0 \le Z \le 1\}$
已知 $P\{2 \le X \le 4\} = 0.4$，转换为标准正态分布得：\[ P\{0 \le Z \le 1\} = \Phi(1) - \Phi(0) = \Phi(1) - 0.5 = 0.4 \] 其中 $\Phi(x)$ 表示标准正态分布的累积分布函数。由此可得 $\Phi(1) = 0.9$。
步骤 3：计算 $P\{X < 0\}$
求 $P\{X < 0\}$：\[ P\{X < 0\} = P\{Z < -1\} = 1 - \Phi(1) = 1 - 0.9 = 0.1 \] 因为 $Z$ 是标准正态分布，所以 $P\{Z < -1\}$ 等于 $1 - \Phi(1)$。