确认统计量的分布。 设 X_1, ..., X_n 是来自总体 X sim N(mu, sigma^2) 的样本，mu sigma^2 未知，则检验假设 H_0: mu = mu_0 时，应该选取的统计量是(）A. (overline(X) - mu_0)/(sigma / sqrt(n)) sim N(0,1)B. (overline(X) - mu_0)/(S / sqrt(n)) sim N(0,1)C. (overline(X) - mu_0)/(S / sqrt(n)) sim t(n-1)D. sum_(i=1)^n ((X_i - mu_0)^2)/(sigma^2) sim chi^2(n)

考查要点：本题主要考查假设检验中统计量的选择，特别是当总体方差未知时，如何选择合适的检验统计量。

解题核心思路：

1. 明确参数类型：题目中总体均值$\mu$和方差$\sigma^2$均为未知参数。
2. 检验目标：检验假设$H_0: \mu = \mu_0$，需构造关于均值的检验统计量。
3. 关键条件：由于$\sigma^2$未知，无法直接使用正态分布（Z统计量），而需用样本标准差$S$代替，此时应选择t统计量。
4. 分布判断：t统计量的自由度为$n-1$，对应选项中的$t(n-1)$。

破题关键点：

• 区分Z与t统计量：Z统计量要求总体方差已知，t统计量用于方差未知且小样本情况。
• 排除干扰项：选项D涉及卡方分布，适用于方差检验，与均值检验无关。

选项分析

选项A

公式：$\frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$
问题：使用总体标准差$\sigma$，但题目中$\sigma^2$未知，无法计算该统计量。
结论：错误。

选项B

公式：$\frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$
问题：虽然用样本标准差$S$代替$\sigma$，但当$\sigma^2$未知时，该统计量服从$t(n-1)$而非正态分布（除非样本量极大）。
结论：错误。

选项C

公式：$\frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1)$
正确性：

1. 构造方式：用样本均值$\overline{X}$和样本标准差$S$构造统计量。
2. 分布：根据t分布定义，当$\mu$未知且用$S$估计$\sigma$时，统计量服从自由度为$n-1$的t分布。
   结论：正确。

选项D

公式：$\sum_{i=1}^{n} \frac{(X_i - \mu_0)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)$
问题：该统计量用于检验总体方差，与均值无关，且仍依赖于未知的$\sigma^2$。
结论：错误。