设随机变量 X_1, X_2, ldots, X_n (n >1) 独立同分布，且其方差为 sigma^2 > 0. 令 Y = (1)/(n) sum_(i=1)^n X_i，则 A. Cov(X_1, Y)= (sigma^2)/(n).B. Cov(X_1, Y)= sigma^2.C. D(X_1 + Y)= (n+2)/(n) sigma^2.D. D(X_1 - Y)= (n+1)/(n) sigma^2.

考查要点：本题主要考查协方差与方差的性质，以及独立同分布随机变量的运算规律。
解题核心思路：

1. 协方差计算：利用协方差的线性性质，结合独立同分布条件下协方差的简化形式。
2. 方差展开：对复合随机变量（如$X_1 + Y$或$X_1 - Y$）的方差进行分解，注意协方差项的符号与系数。
   破题关键点：

• 独立同分布的性质：当$i \neq j$时，$\Cov(X_i, X_j) = 0$；当$i = j$时，$\Cov(X_i, X_j) = \sigma^2$。
• 方差的线性性质：$\Var(aX + bY) = a^2 \Var(X) + b^2 \Var(Y) + 2ab \Cov(X, Y)$。

选项A与B：$\Cov(X_1, Y)$的计算

1. 展开协方差：
   $\Cov(X_1, Y) = \Cov\left(X_1, \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \Cov(X_1, X_i)$
2. 利用独立同分布性质：
   • 当$i = 1$时，$\Cov(X_1, X_1) = \Var(X_1) = \sigma^2$；
   • 当$i \neq 1$时，$\Cov(X_1, X_i) = 0$。
     因此：
     $\Cov(X_1, Y) = \frac{1}{n} \cdot \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}$
     结论：选项A正确，选项B错误。

选项C：$\Var(X_1 + Y)$的计算

1. 方差展开：
   $\Var(X_1 + Y) = \Var(X_1) + \Var(Y) + 2\Cov(X_1, Y)$
2. 逐项计算：
   • $\Var(X_1) = \sigma^2$；
   • $\Var(Y) = \Var\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \Var(X_i) = \frac{\sigma^2}{n}$；
   • $\Cov(X_1, Y) = \frac{\sigma^2}{n}$（已计算）。
3. 代入公式：
   $\Var(X_1 + Y) = \sigma^2 + \frac{\sigma^2}{n} + 2 \cdot \frac{\sigma^2}{n} = \sigma^2 \left(1 + \frac{3}{n}\right) = \frac{n+3}{n} \sigma^2$
   结论：选项C错误。

选项D：$\Var(X_1 - Y)$的计算

1. 方差展开：
   $\Var(X_1 - Y) = \Var(X_1) + \Var(Y) - 2\Cov(X_1, Y)$
2. 逐项计算：
   • $\Var(X_1) = \sigma^2$；
   • $\Var(Y) = \frac{\sigma^2}{n}$；
   • $\Cov(X_1, Y) = \frac{\sigma^2}{n}$。
3. 代入公式：
   $\Var(X_1 - Y) = \sigma^2 + \frac{\sigma^2}{n} - 2 \cdot \frac{\sigma^2}{n} = \sigma^2 \left(1 - \frac{1}{n}\right) = \frac{n-1}{n} \sigma^2$
   结论：选项D错误。