题目
某厂生产的某种型号的电池，其寿命approx N(mu ,(sigma )^2)，现随机抽取approx N(mu ,(sigma )^2)只电池，测出其寿命的样本均值approx N(mu ,(sigma )^2)，和样本方差分别为approx N(mu ,(sigma )^2)，要检验该厂生产的电池的平均寿命是否为approx N(mu ,(sigma )^2)，提出假设approx N(mu ,(sigma )^2)，选用的检验统计量及分布为approx N(mu ,(sigma )^2)approx N(mu ,(sigma )^2) approx N(mu ,(sigma )^2)approx N(mu ,(sigma )^2)approx N(mu ,(sigma )^2)
某厂生产的某种型号的电池，其寿命
，现随机抽取
只电池，测出其寿命的样本均值
，和样本方差分别为
，要检验该厂生产的电池的平均寿命是否为
，提出假设
，选用的检验统计量及分布为
题目解答
答案
故选
。
解析
步骤 1：理解问题背景
题目中提到电池寿命$X$服从正态分布$N(\mu ,{\sigma }^{2})$，并且给出了样本均值和样本方差。需要检验电池的平均寿命是否为$\mu _0$，即检验假设${H}_{0}:\mu =\mu _0$和${H}_{1}:\mu \neq \mu _0$。
步骤 2：选择合适的检验统计量
由于总体方差$\sigma ^2$已知，且样本量$n$较大，可以使用$Z$检验统计量。$Z$检验统计量的公式为$\dfrac {\overline {X}-\mu _0}{\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}$，其中$\overline {X}$是样本均值，$\mu _0$是假设的总体均值，$\sigma$是总体标准差，$n$是样本量。根据中心极限定理，当$n$较大时，$\overline {X}$的分布近似为$N(\mu ,\dfrac {\sigma ^2}{n})$，因此$Z$检验统计量服从$N(0,1)$分布。
步骤 3：确定正确选项
根据步骤2中的分析，检验统计量为$\dfrac {\overline {X}-\mu _0}{\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}\sim N(0,1)$，因此正确选项为A。
题目中提到电池寿命$X$服从正态分布$N(\mu ,{\sigma }^{2})$，并且给出了样本均值和样本方差。需要检验电池的平均寿命是否为$\mu _0$，即检验假设${H}_{0}:\mu =\mu _0$和${H}_{1}:\mu \neq \mu _0$。
步骤 2：选择合适的检验统计量
由于总体方差$\sigma ^2$已知，且样本量$n$较大，可以使用$Z$检验统计量。$Z$检验统计量的公式为$\dfrac {\overline {X}-\mu _0}{\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}$，其中$\overline {X}$是样本均值，$\mu _0$是假设的总体均值，$\sigma$是总体标准差，$n$是样本量。根据中心极限定理，当$n$较大时，$\overline {X}$的分布近似为$N(\mu ,\dfrac {\sigma ^2}{n})$，因此$Z$检验统计量服从$N(0,1)$分布。
步骤 3：确定正确选项
根据步骤2中的分析，检验统计量为$\dfrac {\overline {X}-\mu _0}{\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}\sim N(0,1)$，因此正确选项为A。