题目

1.（4.0分）已知四阶行列式D中第3行元素分别是-4，0，1，3，第3行元素的余子式分别为-2，5，1，1，则D=____.

题目解答

答案

已知四阶行列式 $ D $ 中第3行元素为 $-4, 0, 1, 3$，余子式分别为 $-2, 5, 1, 1$。
代数余子式 $ A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} $，计算得：
$A_{31} = (-1)^{3+1} \times (-2) = -2, \quad A_{32} = (-1)^{3+2} \times 5 = -5, \quad A_{33} = (-1)^{3+3} \times 1 = 1, \quad A_{34} = (-1)^{3+4} \times 1 = -1$
按第3行展开行列式：
$D = a_{31} A_{31} + a_{32} A_{32} + a_{33} A_{33} + a_{34} A_{34} = (-4) \times (-2) + 0 \times (-5) + 1 \times 1 + 3 \times (-1) = 8 + 0 + 1 - 3 = 6$
答案： $\boxed{6}$

解析

本题考查行列式按行展开定理的应用。解题思路是先根据余子式求出对应的代数余子式，再利用行列式按行展开定理计算出行列式的值。

计算代数余子式：
- 已知代数余子式$A_{ij} = (-1)^{i + j}M_{ij}$，其中$M_{ij}$是余子式。
- 对于第$3$行第$1$列元素的代数余子式$A_{31}$：
  - $i = 3$，$j = 1$，$M_{31}=-2$，则$A_{31}=(-1)^{3 + 1}M_{31}=(-1)^{4}\times(-2)=1\times(-2)= - 2$。
- 对于第$3$行第$2$列元素的代数余子式$A_{32}$：
  - $i = 3$，$j = 2$，$M_{32}=5$，则$A_{32}=(-1)^{3 + 2}M_{32}=(-1)^{5}\times5=-1\times5 = - 5$。
- 对于第$3$行第$3$列元素的代数余子式$A_{33}$：
  - $i = 3$，$j = 3$，$M_{33}=1$，则$A_{33}=(-1)^{3 + 3}M_{33}=(-1)^{6}\times1=1\times1 = 1$。
- 对于第$3$行第$4$列元素的代数余子式$A_{34}$：
  - $i = 3$，$j = 4$，$M_{34}=1$，则$A_{34}=(-1)^{3 + 4}M_{34}=(-1)^{7}\times1=-1\times1 = - 1$。
按第$3$行展开行列式：
- 根据行列式按行展开定理$D=\sum_{j = 1}^{n}a_{ij}A_{ij}$（$i$为行标），对于本题$i = 3$，$n = 4$，$a_{31}=-4$，$a_{32}=0$，$a_{33}=1$，$a_{34}=3$。
- 则$D=a_{31}A_{31}+a_{32}A_{32}+a_{33}A_{33}+a_{34}A_{34}$。
- 把$a_{31}=-4$，$A_{31}=-2$，$a_{32}=0$，$A_{32}=-5$，$a_{33}=1$，$A_{33}=1$，$a_{34}=3$，$A_{34}=-1$代入上式得：
  - $D=(-4)\times(-2)+0\times(-5)+1\times1 + 3\times(-1)$。
  - 先计算乘法：$(-4)\times(-2)=8$，$0\times(-5)=0$，$1\times1 = 1$，$3\times(-1)=-3$。
  - 再计算加法：$D=8 + 0+1-3=6$。