80判断题 若两个独立随机变量X和Y均服从二项分布，而X+Y不一定服从二项分布。（）bigcirc对bigcirc错

解题思路

本题考查独立随机变量和的分布性质，切入点是二项分布的可加性条件。

核心解题步骤

1. 明确二项分布的参数：
   二项分布通常记为 $B(n, p)$，其中 $n$ 是试验次数，$p$ 是每次试验成功的概率。

2. 分析独立随机变量和的分布：
   假设两个相互独立的随机变量 $X$ 和 $Y$ 均服从二项分布。
   设 $X \sim B(n_1, p_1)$，$Y \sim B(n_2, p_2)$。

3. 探讨 $X+Y$ 的分布情况：

   • 情况一：当 $p_1 = p_2 = p$ 时，即两个随机变量对应的二项分布具有相同的成功概率。此时，$X$ 和 $Y$ 可以看作是两组独立的伯努利试验中成功次数的总和。因为两组试验相互独立，且每次试验成功的概率均为 $p$，所以将它们合并后，总共进行了 $n_1 + n_2$ 次独立重复试验，每次成功概率为 $p$。因此，$X+Y \sim B(n_1 + n_2, p)$，即 $X+Y$ 服从二项分布。
   • 情况二：当 $p_1 \neq p_2$ 时，即两个随机变量对应的二项分布具有不同的成功概率。此时，$X+Y$ 的概率分布是这两个不同概率的二项分布的卷积。其概率质量函数为：
     $P(X+Y = k) = \sum_{i} P(X=i)P(Y=k-i) = \sum_{i} \binom{n_1}{i} p_1^i (1-p_1)^{n_1-i} \binom{n_2}{k-i} p_2^{k-i} (1-p_2)^{n_2-(k-i)}$
     这个分布无法化简为标准的二项分布形式，因此 $X+Y$ 不服从二项分布。

4. 得出结论：
   题目中仅说明 $X$ 和 $Y$ 均服从二项分布，并未限定它们的参数（特别是成功概率 $p$）相同。因此，$X+Y$ 可能服从二项分布（当 $p$ 相同时），也可能不服从二项分布（当 $p$ 不同时）。

   所以，“$X+Y$ 不一定服从二项分布”这一表述是准确的。

标准答案

对