复数 z = 1 - sqrt(3)i 的三角形式为 ______.

我们要将复数 $ z = 1 - \sqrt{3}i $ 化为**三角形式**。 --- ### 第一步：复数的三角形式定义 复数的三角形式为： $$ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) $$ 其中： - $ r = |z| $ 是复数的**模**（即复数到原点的距离）， - $ \theta $ 是复数的**辐角**（即复数与实轴正方向之间的夹角）。 --- ### 第二步：计算模 $ r $ 复数 $ z = 1 - \sqrt{3}i $，其实部为 $ 1 $，虚部为 $ -\sqrt{3} $。 所以模为： $$ r = |z| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 $$ --- ### 第三步：计算辐角 $ \theta $ 我们要求出角度 $ \theta $，使得： $$ \cos\theta = \frac{1}{2},\quad \sin\theta = \frac{-\sqrt{3}}{2} $$ 这对应于单位圆上角度为 $ \theta = -\frac{\pi}{3} $ 或 $ \theta = \frac{5\pi}{3} $。 因为复数 $ z = 1 - \sqrt{3}i $ 在**第四象限**（实部正，虚部负），所以辐角为： $$ \theta = -\frac{\pi}{3} \quad \text{或} \quad \theta = \frac{5\pi}{3} $$ 两种写法都可以，但通常选择**主值范围** $ [0, 2\pi) $，所以我们选择： $$ \theta = \frac{5\pi}{3} $$ --- ### 第四步：写出三角形式 $$ z = 2\left( \cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3} \right) $$ --- ### ✅ 最终答案： $$ \boxed{2\left( \cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3} \right)} $$