函数 y = |x| 在 x = 0 处没有切线.A. 对B. 错

本题考查函数在某点处切线的定义以及导数的几何意义。解题的关键在于判断函数在$x = 0$处的导数是否存在，若导数存在，则函数在该点处有切线；若导数不存在，则函数在该点处没有切线。

1. 首先明确函数$y = |x|$的表达式：
   • 根据绝对值的定义，$y=\vert x\vert=\begin{cases}x, & x\geq0 \\ -x, & x\lt0\end{cases}$。
2. 然后根据导数的定义求函数在$x = 0$处的左导数$f_{-}'(0)$：
   • 左导数的定义为$f_{-}'(0)=\lim\limits_{x\to0^{-}}\frac{f(x)-f(0)}{x - 0}$。
   • 当$x\to0^{-}$时，$f(x)= -x$，且$f(0)=\vert0\vert = 0$，则$f_{-}'(0)=\lim\limits_{x\to0^{-}}\frac{-x - 0}{x}=\lim\limits_{x\to0^{-}}\frac{-x}{x}$。
   • 对$\lim\limits_{x\to0^{-}}\frac{-x}{x}$进行化简，$\frac{-x}{x}=-1$（$x\neq0$），所以$f_{-}'(0)=\lim\limits_{x\to0^{-}}(-1)= - 1$。
3. 接着求函数在$x = 0$处的右导数$f_{+}'(0)$：
   • 右导数的定义为$f_{+}'(0)=\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{f(x)-f(0)}{x - 0}$。
   • 当$x\to0^{+}$时，$f(x)=x$，且$f(0)=\vert0\vert = 0$，则$f_{+}'(0)=\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{x - 0}{x}=\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{x}{x}$。
   • 对$\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{x}{x}$进行化简，$\frac{x}{x}=1$（$x\neq0$），所以$f_{+}'(0)=\lim\limits_{x\to0^{+}}1 = 1$。
4. 最后判断函数在$x = 0$处的导数是否存在：
   • 函数在某点处可导的充要条件是左导数等于右导数，即$f_{-}'(0)=f_{+}'(0)$。
   • 由于$f_{-}'(0)= - 1$，$f_{+}'(0)=1$，$f_{-}'(0)\neq f_{+}'(0)$，所以函数$y = |x|$在$x = 0$处不可导。
   • 因为函数在某点处可导是该点处有切线的充要条件，所以函数$y = |x|$在$x = 0$处没有切线。