题目
5.随机变量X,Y和 X+Y 的方差满足 (X+Y)=D(X)+D(Y) 是X与Y【 】.-|||-(A)不相关的充分条件,但不是必要条件;-|||-(B)不相关的必要条件,但不是充分条件;-|||-(C)独立的必要条件,但不是充分条件;-|||-(D)独立的充分必要条件
题目解答
答案
A. 不相关的充分条件,但不是必要条件;
解析
步骤 1：方差的性质
方差的性质之一是：对于两个随机变量X和Y，它们的和的方差可以表示为 $D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$，其中 $Cov(X,Y)$ 是X和Y的协方差。
步骤 2：协方差为零的条件
如果 $D(X+Y)=D(X)+D(Y)$，则根据方差的性质，可以得出 $2Cov(X,Y)=0$，即 $Cov(X,Y)=0$。这意味着X和Y不相关。
步骤 3：不相关与独立的关系
不相关并不意味着独立。两个随机变量不相关，即它们的协方差为零，但它们可能仍然存在某种依赖关系。因此，$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$ 是X与Y不相关的充分条件，但不是必要条件。
方差的性质之一是：对于两个随机变量X和Y，它们的和的方差可以表示为 $D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$，其中 $Cov(X,Y)$ 是X和Y的协方差。
步骤 2：协方差为零的条件
如果 $D(X+Y)=D(X)+D(Y)$，则根据方差的性质，可以得出 $2Cov(X,Y)=0$，即 $Cov(X,Y)=0$。这意味着X和Y不相关。
步骤 3：不相关与独立的关系
不相关并不意味着独立。两个随机变量不相关，即它们的协方差为零，但它们可能仍然存在某种依赖关系。因此，$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$ 是X与Y不相关的充分条件，但不是必要条件。