题目
1.填空题（4分）设A与B为等价矩阵，且r(A)=r，则矩阵B的秩r(B)=_____.
1.填空题（4分）
设A与B为等价矩阵，且r(A)=r，则矩阵B的秩r(B)=_____.
题目解答
答案
根据等价矩阵的定义，若矩阵 $ A $ 与 $ B $ 等价，则存在可逆矩阵 $ P $ 和 $ Q $，使得 $ B = QAP $。由矩阵秩的性质，可逆矩阵乘法不改变矩阵的秩，即 $ r(B) = r(QAP) = r(A) $。已知 $ r(A) = r $，因此 $ r(B) = r $。
答案：$ r $
解析
本题考查等价矩阵的定义以及矩阵秩的性质。解题思路是根据等价矩阵的定义得出矩阵之间的关系，再利用矩阵秩的性质求出矩阵的秩。
- 根据等价矩阵的定义，若矩阵 $A$ 与 $B$ 等价，则存在可逆矩阵 $P$ 和 $Q$，使得 $B = QAP$。
- 由矩阵秩的性质，可逆矩阵乘法不改变矩阵的秩，即 $r(B) = r(QAP) = r(A)$。
- 已知 $r(A) = r$，所以 $r(B) = r$。