设 A 为 3 阶矩阵，|A|=(1)/(2)，则 |(2A)^-1-5A^*|= ______.

我们来一步一步解决这个题目：

题目：

设 $ A $ 为 3 阶矩阵，且 $ |A| = \frac{1}{2} $，求
$\left|(2A)^{-1} - 5A^{*}\right| = ?$

第一步：回顾相关公式

1. 行列式的性质：

   • 若 $ A $ 是 $ n $ 阶矩阵，则 $ |kA| = k^n |A| $，其中 $ k $ 是常数。
   • 这里 $ A $ 是 3 阶矩阵，所以 $ n = 3 $。

2. 逆矩阵与伴随矩阵的关系：

   • $ A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^{*} $，即 $ A^{*} = |A| \cdot A^{-1} $
   • 反过来，$ A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^{*} $

3. 矩阵数乘的逆：

   • $ (kA)^{-1} = \frac{1}{k} A^{-1} $，前提是 $ A $ 可逆（这里 $ |A| = \frac{1}{2} \ne 0 $，所以可逆）

4. 行列式是标量，我们要计算的是一个矩阵的行列式。

第二步：化简表达式 $ (2A)^{-1} - 5A^{*} $

先分别化简两个部分。

1. $ (2A)^{-1} $

由于 $ A $ 是 3 阶矩阵，
$(2A)^{-1} = \frac{1}{2} A^{-1}$

2. $ A^{*} $（伴随矩阵）

由公式：
$A^{*} = |A| \cdot A^{-1} = \frac{1}{2} A^{-1}$

所以：
$5A^{*} = 5 \cdot \frac{1}{2} A^{-1} = \frac{5}{2} A^{-1}$

第三步：代入原式

$(2A)^{-1} - 5A^{*} = \frac{1}{2} A^{-1} - \frac{5}{2} A^{-1} = \left( \frac{1}{2} - \frac{5}{2} \right) A^{-1} = -2 A^{-1}$

所以：
$\left|(2A)^{-1} - 5A^{*}\right| = \left| -2 A^{-1} \right|$

第四步：计算行列式 $ \left| -2 A^{-1} \right| $

• $ A^{-1} $ 是 3 阶矩阵，所以：
  $\left| -2 A^{-1} \right| = (-2)^3 \cdot \left| A^{-1} \right| = -8 \cdot |A^{-1}|$

• 而 $ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = \frac{1}{1/2} = 2 $

所以：
$\left| -2 A^{-1} \right| = -8 \times 2 = -16$

第五步：写出答案

$\boxed{-16}$

✅ 最终答案：

$\boxed{-16}$