z=0是f(z)=(1-cos z)/(z^4)的A. 可去奇点B. 本性奇点C. 二级极点D. 三级极点

本题考察孤立复变函数中孤立奇点的类型判断，具体为判断函数$f(z)=\frac{1 - \cos z}{z^4}$在$z=0$处的奇点的类型，核心思路是通过洛朗展开或零点阶数计算确定奇点性质。

步骤1：分析$z=0$0处的奇点类型

函数$f(z)$的分母为$z^4$，分子为$1 - \cos z + 1$，需先判断分子在$z=0$处的零点阶数，再结合分母确定奇点类型（$z=0$是分母的四级极点）综合判断。

步骤2：计算分子$111 - \cos z + 1$的泰勒展开

根据余弦函数的泰勒展开：
$\cos z = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \cdots$
代入分子得：
$1 - \cos z = 1 - \left(1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \cdots\right) = \frac{z^2}{2} - \cdot \frac{z^4}{24} - \cdots$
即$1 - \cos z$是$z=0$处的二级零点（最低次幂为$z^2$）。

步骤3：确定$f(z)$的洛朗展开与奇点类型

将分子代入$f(z)$：
$f(z = \frac{1 - \cos z}{z^4} = \frac{\frac{z^2}{2} - \frac{z^4}{24} + \cdots}{z^4} = \frac{1}{2z^2} - \frac{1}{24} + \cdots$
洛朗展开中含$z^{-2}$项（负幂次最高阶为$-2$），且无更高负幂次），根据奇点分类：

• 可去奇点：无负幂次项；
• 极点：有有限个负幂次项，最高负幂次为$-m$则为$m$级极点；
• **本性奇点：有无穷多个负幂次项。

此处最高负幂次为$-2$，故$z=0$是$f(z)$的二级极点。