设随机变量 X，Y 相互独立均服从均匀分布 U ( 0 , 1 ) 则 E ( XY ) =_______ Var ( XY ) =_______

步骤 1：计算 E(XY)
由于 X 和 Y 相互独立，且均服从均匀分布 U(0,1)，则有：
$E(XY) = E(X)E(Y)$
由于 X 和 Y 均服从 U(0,1)，则有：
$E(X) = E(Y) = \int_{0}^{1} x dx = \dfrac{1}{2}$
因此：
$E(XY) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$

步骤 2：计算 Var(XY)
$Var(XY) = E(X^2Y^2) - [E(XY)]^2$
由于 X 和 Y 相互独立，且均服从均匀分布 U(0,1)，则有：
$E(X^2Y^2) = E(X^2)E(Y^2)$
由于 X 和 Y 均服从 U(0,1)，则有：
$E(X^2) = E(Y^2) = \int_{0}^{1} x^2 dx = \dfrac{1}{3}$
因此：
$E(X^2Y^2) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9}$
$Var(XY) = \dfrac{1}{9} - (\dfrac{1}{4})^2 = \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{16} = \dfrac{16}{144} - \dfrac{9}{144} = \dfrac{7}{144}$