题目
某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品, 其产量分别占全厂总产量的40%, 38%, 22%, 经检验知各车间的次品率分别为0.04, 0.03, 0.05. 现从该种产品中任意取一件进行检查.(1) 求这件产品是次品的概率;(2) 已知抽得的一件是次品, 问此产品来自甲、乙、丙各车间的概率分别是多少?
某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品, 其产量分别占全厂总产量的40%, 38%, 22%, 经检验知各车间的次品率分别为0.04, 0.03, 0.05. 现从该种产品中任意取一件进行检查.
(1) 求这件产品是次品的概率;
(2) 已知抽得的一件是次品, 问此产品来自甲、乙、丙各车间的概率分别是多少?
题目解答
答案
解 设A表示“取到的是一件次品”, 
(i=1, 2, 3)分别表示“所取到的产品来自甲、乙、丙工厂”. 易知,
是样本空间S的一个划分, 且
,
,
.
(1) 由全概率公式可得
.
(2) 由贝叶斯公式可得
,
,
.
习题1-6
解析
步骤 1：定义事件
设A表示“取到的是一件次品”，$B_{1}$，$B_{2}$，$B_{3}$分别表示“所取到的产品来自甲、乙、丙车间”。根据题意，$B_{1}$，$B_{2}$，$B_{3}$是样本空间S的一个划分，且
$P(B_{1})=0.4$，$P(B_{2})=0.38$，$P(B_{3})=0.22$，
$P(A|B_{1})=0.04$，$P(A|B_{2})=0.03$，$P(A|B_{3})=0.05$。
步骤 2：计算次品概率
根据全概率公式，求出这件产品是次品的概率$P(A)$：
$P(A)=P(A,B_{1})P(B_{1})+P(A,B_{2})P(B_{2})+P(A,B_{3})P(B_{3})$
$=0.4\times 0.04+0.38\times 0.03+0.22\times 0.05$
$=0.0384$。
步骤 3：计算条件概率
根据贝叶斯公式，求出已知抽得的一件是次品，此产品来自甲、乙、丙各车间的概率分别是多少：
$P(B_{1}|A)=\dfrac {P(A|B_{1})P(B_{1})}{P(A)}=\dfrac {0.4\times 0.04}{0.0384}=\dfrac {5}{12}$，
$P(B_{2}|A)=\dfrac {P(A|B_{2})P(B_{2})}{P(A)}=\dfrac {0.38\times 0.03}{0.0384}=\dfrac {19}{64}$，
$P(B_{3}|A)=\dfrac {P(A|B_{3})P(B_{3})}{P(A)}=\dfrac {0.22\times 0.05}{0.0384}=\dfrac {55}{192}$。
设A表示“取到的是一件次品”，$B_{1}$，$B_{2}$，$B_{3}$分别表示“所取到的产品来自甲、乙、丙车间”。根据题意，$B_{1}$，$B_{2}$，$B_{3}$是样本空间S的一个划分，且
$P(B_{1})=0.4$，$P(B_{2})=0.38$，$P(B_{3})=0.22$，
$P(A|B_{1})=0.04$，$P(A|B_{2})=0.03$，$P(A|B_{3})=0.05$。
步骤 2：计算次品概率
根据全概率公式，求出这件产品是次品的概率$P(A)$：
$P(A)=P(A,B_{1})P(B_{1})+P(A,B_{2})P(B_{2})+P(A,B_{3})P(B_{3})$
$=0.4\times 0.04+0.38\times 0.03+0.22\times 0.05$
$=0.0384$。
步骤 3：计算条件概率
根据贝叶斯公式，求出已知抽得的一件是次品，此产品来自甲、乙、丙各车间的概率分别是多少：
$P(B_{1}|A)=\dfrac {P(A|B_{1})P(B_{1})}{P(A)}=\dfrac {0.4\times 0.04}{0.0384}=\dfrac {5}{12}$，
$P(B_{2}|A)=\dfrac {P(A|B_{2})P(B_{2})}{P(A)}=\dfrac {0.38\times 0.03}{0.0384}=\dfrac {19}{64}$，
$P(B_{3}|A)=\dfrac {P(A|B_{3})P(B_{3})}{P(A)}=\dfrac {0.22\times 0.05}{0.0384}=\dfrac {55}{192}$。