设 X_1, X_2, ldots X_n 是取自总体 X 的一组简单随机样本, Y_1, Y_2, ldots Y_m 是取自总体 Y 的一组简单随机样本,且 X sim N(mu_1, sigma^2), Y sim N(mu_2, sigma^2),则 (sum_(i=1)^n(X_i-mu_1)^2/n)/(sum_(i=1)^m(Y_i-mu_2)^2/m) 服从的分布为().A. F(n,m)B. F(n-1,m-1)C. F(m,n)D. F(m-1,n-1)

本题考查考查的知识点是F分布的定义。解题的关键在于明确F分布的定义，并将题目所给的式子与定义进行对比。

1. 回顾F分布的定义

若$U\sim\chi^{2}(}(n_1)$，$V\sim\chi^{2}(n_2)$，且$U$与$V$相互独立，则称随机变量$F = \frac{U/n_1}{V/n_2}$ \sim F(n_1,n_2)})，其中$n_1$为第一自由度，$n_2$为第二自由度。

2. 分析$\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu_1)^2$ )的分布

已知$X_i\sim N(\mu_1,\sigma^2)$，$i = 1,2,\cdots,n$，根据正态分布的性质，若$Z\sim N(0,1)$，则$Z^2\sim\chi^{2}(1)$。
对$X_i$进行标准化，令$Z_i=\frac{X_i - \mu_1}{\sigma}\sim N(0,1)$，那么$Z_i^2=\frac{(X_i - \mu_1)^2}{\sigma^2}\sim\chi^{2}(1)$。
由于$X_1,X_2,\cdots,X_n$相互独立，所以$Z_1,Z_2,\cdots,Z_n$也相互独立。
根据$\chi^{2$分布的可加性，若$Z_1,Z_2,\cdots,Z_n$相互独立且$Z_i\sim\chi^{2}(1)$，$i = 1,2,\cdots,n$，则$\sum_{i = 1}^{n}Z_i^2=\sum_{i = 1}^{n}\frac{(X_i - \mu_1)^2}{\sigma^2}\sim\chi^{2}(n)$。

3. 分析$\sum_{i = 1}^{m}(Y_i - \mu_2)^2$的分布

同理，已知$Y_i\sim N(\mu_2,\sigma^2)$，$i = 1,2,\cdots,m$，对$Y_i$进行标准化，令$W_i=\frac{Y_i - \mu_2\}/\sigma\sim N(0,1)$，那么$W_i^2=\frac{(Y_i - \mu_2)^2}{\sigma^2}\sim\chi^{2}(1)$。
由于$Y_1,Y_2,\cdots,Y_m$相互独立，所以$W_1,W_2,\cdots,W_m$也相互独立。
根据$\sum_{i = 1}^{m}W_i^2=\sum_{i = 1}^{m}\frac{(Y_i - \mu_2)^2}{\sigma^2}\sim\chi^{2}(m)$。

4. 确定$\frac{\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu_1)^2/n}{\sum_{i = 1}^{m}(Y_i - \mu_2)^2/m}$的分布

令$U=\sum_{i = 1}^{n}\frac{(X_i - \mu_1)^2}{\sigma^2}\sim\chi^{2}(n)$，$V=\sum_{i = 1}^{m}\frac{(Y_i - \mu_2)^2}/\sigma^2\sim\chi^{2}(m)$，且$U$与$V$相互独立。
则$\frac{\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu_1)^2/n}{\sum_{i = 1}^{m}(Y_i - \mu_2)^2/m}=\frac{\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}\frac{(X_i - \mu_1)^2}{\sigma^2}}{\frac{1}{m}\sum_{i = 1}^{m}\frac{(Y_i - \mu_2)^2}{\sigma^2}}=\frac{U/n}{V/m}$ \sim F(n,m)})。