设 sim N((M)_(1),({O)_(1)}^2),Ysim N((M)_(2)cdot ({O)_(2)}^2) ,且X与Y相互独立,设 =dfrac (X+Y)(2) ,则Z服从 ()-|||-(A) ((mu )_(1)+(mu )_(2),({sigma )_(1)}^2+({sigma )_(2)}^2) ; (B) ((mu )_(1)+(mu )_(2),dfrac ({{sigma )_(1)}^2+({sigma )_(2)}^2}(2)) ;-|||-(C) (dfrac ({mu )_(1)+(mu )_(2)}(2),dfrac ({{sigma )_(1)}^2+({sigma )_(2)}^2}(2)) ; (D) (dfrac ({mu )_(1)+(mu )_(2)}(2),dfrac ({{sigma )_(1)}^2+({sigma )_(2)}^2}(4)) .

考查要点：本题主要考查独立正态随机变量线性组合的分布规律，特别是均值和方差的计算。

解题核心思路：

1. 独立正态变量的和：若两个独立正态变量相加，其均值为各自均值之和，方差为各自方差之和。
2. 线性变换后的分布：对正态变量进行线性变换（如乘以常数、加上常数），新变量仍为正态分布，均值和方差需按线性变换规则调整。

破题关键点：

• 均值计算：$Z = \frac{X+Y}{2}$ 的均值为 $\frac{\mu_1 + \mu_2}{2}$。
• 方差计算：由于 $X$ 和 $Y$ 独立，$D(X+Y) = D(X) + D(Y)$，再结合线性变换规则 $D(aX) = a^2 D(X)$，可得 $D(Z) = \frac{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}{4}$。

步骤1：计算均值

根据期望的线性性质：
$E(Z) = E\left(\frac{X+Y}{2}\right) = \frac{E(X) + E(Y)}{2} = \frac{\mu_1 + \mu_2}{2}.$

步骤2：计算方差

由于 $X$ 和 $Y$ 独立，方差可加：
$D(X+Y) = D(X) + D(Y) = \sigma_1^2 + \sigma_2^2.$
再结合线性变换规则：
$D(Z) = D\left(\frac{X+Y}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 D(X+Y) = \frac{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}{4}.$

步骤3：确定分布

因为 $X$ 和 $Y$ 是正态分布且独立，其线性组合 $Z$ 仍服从正态分布，故：
$Z \sim N\left(\frac{\mu_1 + \mu_2}{2}, \frac{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}{4}\right).$