题目
设 sim N((M)_(1),({O)_(1)}^2),Ysim N((M)_(2)cdot ({O)_(2)}^2) ,且X与Y相互独立,设 =dfrac (X+Y)(2) ,则Z服从 ()-|||-(A) ((mu )_(1)+(mu )_(2),({sigma )_(1)}^2+({sigma )_(2)}^2) ; (B) ((mu )_(1)+(mu )_(2),dfrac ({{sigma )_(1)}^2+({sigma )_(2)}^2}(2)) ;-|||-(C) (dfrac ({mu )_(1)+(mu )_(2)}(2),dfrac ({{sigma )_(1)}^2+({sigma )_(2)}^2}(2)) ; (D) (dfrac ({mu )_(1)+(mu )_(2)}(2),dfrac ({{sigma )_(1)}^2+({sigma )_(2)}^2}(4)) .
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定Z的期望值
由于X和Y是相互独立的随机变量，且X和Y分别服从正态分布$N({\mu }_{1},{{\sigma }_{1}}^{2})$和$N({\mu }_{2},{{\sigma }_{2}}^{2})$，则Z的期望值为：
$E(Z)=E(\dfrac {X+Y}{2})=\dfrac {E(X)+E(Y)}{2}=\dfrac {{\mu }_{1}+{\mu }_{2}}{2}$
步骤 2：确定Z的方差
由于X和Y是相互独立的随机变量，Z的方差为：
$D(Z)=D(\dfrac {X+Y}{2})=\dfrac {D(X)+D(Y)}{4}=\dfrac {{{\sigma }_{1}}^{2}+{{\sigma }_{2}}^{2}}{4}$
步骤 3：确定Z的分布
由于X和Y是相互独立的正态分布随机变量，Z也是正态分布随机变量，因此Z的分布为：
$Z\sim N(\dfrac {{\mu }_{1}+{\mu }_{2}}{2},\dfrac {{{\sigma }_{1}}^{2}+{{\sigma }_{2}}^{2}}{4})$
由于X和Y是相互独立的随机变量，且X和Y分别服从正态分布$N({\mu }_{1},{{\sigma }_{1}}^{2})$和$N({\mu }_{2},{{\sigma }_{2}}^{2})$，则Z的期望值为：
$E(Z)=E(\dfrac {X+Y}{2})=\dfrac {E(X)+E(Y)}{2}=\dfrac {{\mu }_{1}+{\mu }_{2}}{2}$
步骤 2：确定Z的方差
由于X和Y是相互独立的随机变量，Z的方差为：
$D(Z)=D(\dfrac {X+Y}{2})=\dfrac {D(X)+D(Y)}{4}=\dfrac {{{\sigma }_{1}}^{2}+{{\sigma }_{2}}^{2}}{4}$
步骤 3：确定Z的分布
由于X和Y是相互独立的正态分布随机变量，Z也是正态分布随机变量，因此Z的分布为：
$Z\sim N(\dfrac {{\mu }_{1}+{\mu }_{2}}{2},\dfrac {{{\sigma }_{1}}^{2}+{{\sigma }_{2}}^{2}}{4})$