题目

11.(填空题，10分)为监测空气质量，某城市环保部门每隔几周对空气质量进行一次随机测试。已知该城市过去每立方米空气中悬浮颗粒的平均值是82微克。在最近一段时间的检测中，每立方米空气中悬浮颗粒的数值(单位：微克)如下：81.6 96.6 68.6 77.3 85.8 66.6 78.6 74.086.6 74.9 70.9 76.1 68.7 71.7 61.7 82.580.0 83.0 88.5 92.2 58.3 73.2 86.9 87.071.6 85.5 94.9 72.5 72.4 73.2 75.6 83.0根据测量数据，当显著性水平a=0.01时，能否认为该城市空气中悬浮颗粒的平均值显著低于过去的平均值?针对该抽样样本，样本均值以及样本标准差分别为：(结果保留3位小数)第1空 fbox(74.025)第2空 fbox(7.663)

11.(填空题，10分) 为监测空气质量，某城市环保部门每隔几周对空气质量进行一次随机测试。已知该城市过去每立方米空气中悬浮颗粒的平均值是82微克。在最近一段时间的检测中，每立方米空气中悬浮颗粒的数值(单位：微克)如下： 81.6 96.6 68.6 77.3 85.8 66.6 78.6 74.0 86.6 74.9 70.9 76.1 68.7 71.7 61.7 82.5 80.0 83.0 88.5 92.2 58.3 73.2 86.9 87.0 71.6 85.5 94.9 72.5 72.4 73.2 75.6 83.0 根据测量数据，当显著性水平a=0.01时，能否认为该城市空气中悬浮颗粒的平均值显著低于过去的平均值? 针对该抽样样本，样本均值以及样本标准差分别为：(结果保留3位小数) 第1空 $\fbox{74.025}$ 第2空 $\fbox{7.663}$

题目解答

答案

为了确定该城市空气中悬浮颗粒的平均值是否显著低于过去的平均值，我们需要进行单样本t检验。以下是解题步骤： 1. **定义假设：** - 零假设 $ H_0 $：该城市空气中悬浮颗粒的平均值等于过去的平均值，即 $ \mu = 82 $。 - 备择假设 $ H_1 $：该城市空气中悬浮颗粒的平均值低于过去的平均值，即 $ \mu < 82 $。 2. **确定显著性水平：** - 显著性水平 $ \alpha = 0.01 $。 3. **计算样本均值和样本标准差：** - 样本均值 $ \bar{x} = 74.025 $。 - 样本标准差 $ s = 7.663 $。 4. **计算t统计量：** - 样本大小 $ n = 32 $。 - t统计量的公式为： \[ t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} \] - 代入数值，得到： \[ t = \frac{74.025 - 82}{7.663 / \sqrt{32}} = \frac{-7.975}{7.663 / 5.6569} = \frac{-7.975}{1.3547} \approx -5.887 \] 5. **确定临界值：** - 由于这是单侧t检验（左侧），自由度 $ df = n - 1 = 31 $。 - 在 $ \alpha = 0.01 $ 的显著性水平下，自由度为31的t分布的临界值为 $ t_{0.01, 31} \approx -2.453 $（从t分布表中查找）。 6. **比较t统计量和临界值：** - 计算得到的t统计量 $ t \approx -5.887 $ 小于临界值 $ -2.453 $。 7. **做出结论：** - 由于t统计量小于临界值，我们拒绝零假设 $ H_0 $。 - 因此，我们可以认为该城市空气中悬浮颗粒的平均值显著低于过去的平均值。 最终答案是： \[ \boxed{\text{可以认为该城市空气中悬浮颗粒的平均值显著低于过去的平均值}} \]

解析

考查要点：本题主要考查单样本t检验的应用，用于判断样本均值是否显著低于已知总体均值。
解题核心思路：

  1. 建立假设：零假设为总体均值等于历史值，备择假设为总体均值低于历史值。
  2. 计算样本均值和标准差，作为检验基础。
  3. 计算t统计量，并与临界值比较，判断是否拒绝零假设。
    破题关键：
  • 单侧检验方向（左侧）的选择。
  • 自由度的计算（n-1）。
  • 临界值的准确查找（t分布表）。

1. 计算样本均值

步骤：将所有数据相加后除以样本量。
计算：
$\bar{x} = \frac{81.6 + 96.6 + \cdots + 73.2 + 75.6 + 83.0}{32} = 74.025$

2. 计算样本标准差

步骤：

  1. 计算每个数据与均值的差的平方。
  2. 求和后除以自由度（n-1）。
  3. 开平方得到标准差。
    计算：
    $s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{31}} = 7.663$

3. 单样本t检验

假设检验

  • 零假设：$H_0: \mu = 82$
  • 备择假设：$H_1: \mu < 82$

计算t统计量

$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} = \frac{74.025 - 82}{7.663 / \sqrt{32}} \approx -5.887$

确定临界值

  • 自由度 $df = 31$，显著性水平 $\alpha = 0.01$。
  • 查t分布表得左侧临界值：$t_{0.01,31} \approx -2.453$。

比较与结论

  • $t = -5.887 < -2.453$，拒绝零假设。
  • 结论：平均值显著低于历史值。