题目
2.已知某台机器生产的螺栓长度X(单位：厘米)服从参数μ=10.05，σ=0.06的正态分布.规定螺栓长度在10.05±0.12内为合格品，试求螺栓为合格品的概率.(Φ(2)=0.9772)
2.已知某台机器生产的螺栓长度X(单位：厘米)服从参数μ=10.05，σ=0.06的正态分布.规定螺栓长度在10.05±0.12内为合格品，试求螺栓为合格品的概率.(Φ(2)=0.9772)
题目解答
答案
已知螺栓长度 $X$ 服从正态分布 $N(10.05, 0.06^2)$，合格范围为 $10.05 \pm 0.12$，即 $[9.93, 10.17]$。
标准化得：
\[ Z_1 = \frac{9.93 - 10.05}{0.06} = -2, \quad Z_2 = \frac{10.17 - 10.05}{0.06} = 2 \]
求 $P(-2 \le Z \le 2)$：
\[ P(-2 \le Z \le 2) = \Phi(2) - \Phi(-2) = 2\Phi(2) - 1 \]
已知 $\Phi(2) = 0.9772$，代入得：
\[ P(-2 \le Z \le 2) = 2 \times 0.9772 - 1 = 0.9544 \]
**答案：** $\boxed{0.9544}$
解析
步骤 1：确定螺栓长度的合格范围
螺栓长度的合格范围为 $10.05 \pm 0.12$，即 $[9.93, 10.17]$。
步骤 2：标准化
将螺栓长度的合格范围标准化为标准正态分布的范围。标准化公式为 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，其中 $X$ 为螺栓长度，$\mu$ 为均值，$\sigma$ 为标准差。
步骤 3：计算标准化后的范围
将 $X = 9.93$ 和 $X = 10.17$ 分别代入标准化公式，得到 $Z_1 = \frac{9.93 - 10.05}{0.06} = -2$ 和 $Z_2 = \frac{10.17 - 10.05}{0.06} = 2$。
步骤 4：计算合格品的概率
合格品的概率为 $P(-2 \le Z \le 2)$，即 $P(-2 \le Z \le 2) = \Phi(2) - \Phi(-2)$。由于标准正态分布的对称性，$\Phi(-2) = 1 - \Phi(2)$，因此 $P(-2 \le Z \le 2) = 2\Phi(2) - 1$。
步骤 5：代入已知值
已知 $\Phi(2) = 0.9772$，代入得 $P(-2 \le Z \le 2) = 2 \times 0.9772 - 1 = 0.9544$。
螺栓长度的合格范围为 $10.05 \pm 0.12$，即 $[9.93, 10.17]$。
步骤 2：标准化
将螺栓长度的合格范围标准化为标准正态分布的范围。标准化公式为 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，其中 $X$ 为螺栓长度，$\mu$ 为均值，$\sigma$ 为标准差。
步骤 3：计算标准化后的范围
将 $X = 9.93$ 和 $X = 10.17$ 分别代入标准化公式，得到 $Z_1 = \frac{9.93 - 10.05}{0.06} = -2$ 和 $Z_2 = \frac{10.17 - 10.05}{0.06} = 2$。
步骤 4：计算合格品的概率
合格品的概率为 $P(-2 \le Z \le 2)$，即 $P(-2 \le Z \le 2) = \Phi(2) - \Phi(-2)$。由于标准正态分布的对称性，$\Phi(-2) = 1 - \Phi(2)$，因此 $P(-2 \le Z \le 2) = 2\Phi(2) - 1$。
步骤 5：代入已知值
已知 $\Phi(2) = 0.9772$，代入得 $P(-2 \le Z \le 2) = 2 \times 0.9772 - 1 = 0.9544$。