设 x_1, x_2, x_3 服从均匀分布 U(0, theta)，试证 (4)/(3) x_((3)) 及 4 x_((1)) 都是 theta 的无偏估计，哪个更有效？
设 $x_1, x_2, x_3$ 服从均匀分布 $U(0, \theta)$，试证 $\frac{4}{3} x_{(3)}$ 及 $4 x_{(1)}$ 都是 $\theta$ 的无偏估计，哪个更有效？
题目解答
答案
我们来逐步解决这个问题。
题目分析
设 $ x_1, x_2, x_3 $ 是来自均匀分布 $ U(0, \theta) $ 的独立同分布样本。
记顺序统计量为 $ x_{(1)} \le x_{(2)} \le x_{(3)} $，即最小值、中位数、最大值。
题目要求我们证明：
- $ \frac{4}{3} x_{(3)} $ 是 $ \theta $ 的无偏估计；
- $ 4 x_{(1)} $ 也是 $ \theta $ 的无偏估计；
- 比较这两个估计的有效性（即哪个估计量的方差更小）。
第一步：无偏性证明
1.1 证明 $ \frac{4}{3} x_{(3)} $ 是无偏估计
我们先求 $ x_{(3)} $（即样本最大值）的期望。
对于 $ n $ 个独立同分布于 $ U(0, \theta) $ 的样本，其最大值 $ x_{(n)} $ 的期望为：
$\mathbb{E}[x_{(n)}] = \frac{n}{n+1} \theta$
所以当 $ n = 3 $ 时，
$\mathbb{E}[x_{(3)}] = \frac{3}{4} \theta$
因此，
$\mathbb{E}\left[\frac{4}{3} x_{(3)}\right] = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} \theta = \theta$
✅ 所以 $ \frac{4}{3} x_{(3)} $ 是 $ \theta $ 的无偏估计。
1.2 证明 $ 4 x_{(1)} $ 是无偏估计
我们先求 $ x_{(1)} $（即样本最小值）的期望。
对于 $ n $ 个独立同分布于 $ U(0, \theta) $ 的样本，其最小值 $ x_{(1)} $ 的期望为：
$\mathbb{E}[x_{(1)}] = \frac{\theta}{n+1}$
所以当 $ n = 3 $ 时，
$\mathbb{E}[x_{(1)}] = \frac{\theta}{4}$
因此，
$\mathbb{E}[4 x_{(1)}] = 4 \cdot \frac{\theta}{4} = \theta$
✅ 所以 $ 4 x_{(1)} $ 也是 $ \theta $ 的无偏估计。
第二步：比较有效性（方差比较）
我们比较两个估计量的方差，方差更小的更有效。
2.1 计算 $ \text{Var}\left(\frac{4}{3} x_{(3)}\right) $
先求 $ x_{(3)} $ 的方差：
对于 $ x_{(n)} $ 的方差，有公式：
$\text{Var}(x_{(n)}) = \frac{n \theta^2}{(n+1)^2(n+2)}$
当 $ n = 3 $ 时，
$\text{Var}(x_{(3)}) = \frac{3 \theta^2}{4^2 \cdot 5} = \frac{3 \theta^2}{80}$
因此，
$\text{Var}\left(\frac{4}{3} x_{(3)}\right) = \left(\frac{4}{3}\right)^2 \cdot \frac{3 \theta^2}{80} = \frac{16}{9} \cdot \frac{3 \theta^2}{80} = \frac{48 \theta^2}{720} = \frac{\theta^2}{15}$
2.2 计算 $ \text{Var}(4 x_{(1)}) $
先求 $ x_{(1)} $ 的方差：
对于 $ x_{(1)} $ 的方差，有公式：
$\text{Var}(x_{(1)}) = \frac{n \theta^2}{(n+1)^2(n+2)}$
当 $ n = 3 $ 时，
$\text{Var}(x_{(1)}) = \frac{3 \theta^2}{4^2 \cdot 5} = \frac{3 \theta^2}{80}$
因此，
$\text{Var}(4 x_{(1)}) = 16 \cdot \frac{3 \theta^2}{80} = \frac{48 \theta^2}{80} = \frac{3 \theta^2}{5}$
第三步：有效性比较
我们比较两个估计量的方差：
- $ \text{Var}\left(\frac{4}{3} x_{(3)}\right) = \frac{\theta^2}{15} $
- $ \text{Var}(4 x_{(1)}) = \frac{3 \theta^2}{5} $
显然，
$\frac{\theta^2}{15} < \frac{3 \theta^2}{5}$
所以：
✅ $ \frac{4}{3} x_{(3)} $ 比 $ 4 x_{(1)} $ 更有效。
最终答案总结
- $ \frac{4}{3} x_{(3)} $ 和 $ 4 x_{(1)} $ 都是 $ \theta $ 的无偏估计。
- $ \frac{4}{3} x_{(3)} $ 更有效，因为它的方差更小。
答案：
$\boxed{\frac{4}{3} x_{(3)} \text{ 是 } \theta \text{ 的无偏估计，且比 } 4 x_{(1)} \text{ 更有效。}}$
解析
考查要点：本题主要考查均匀分布的顺序统计量的期望与方差，以及无偏估计和有效性的比较。
解题思路：
- 无偏性证明：分别计算 $\frac{4}{3}x_{(3)}$ 和 $4x_{(1)}$ 的期望，验证是否等于 $\theta$。
- 有效性比较：计算两个估计量的方差，方差更小的更有效。
关键点：
- 均匀分布的顺序统计量：最大值 $x_{(3)}$ 和最小值 $x_{(1)}$ 的期望和方差公式。
- 无偏性：估计量的期望等于参数 $\theta$。
- 有效性：方差更小的估计量更有效。
1. 无偏性证明
$\frac{4}{3}x_{(3)}$ 的无偏性
- 最大值 $x_{(3)}$ 的期望：
对于均匀分布 $U(0, \theta)$，最大值 $x_{(3)}$ 的期望为：
$\mathbb{E}[x_{(3)}] = \frac{3}{4}\theta$ - 调整后的期望：
$\mathbb{E}\left[\frac{4}{3}x_{(3)}\right] = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}\theta = \theta$
因此，$\frac{4}{3}x_{(3)}$ 是 $\theta$ 的无偏估计。
$4x_{(1)}$ 的无偏性
- 最小值 $x_{(1)}$ 的期望：
最小值 $x_{(1)}$ 的期望为：
$\mathbb{E}[x_{(1)}] = \frac{\theta}{4}$ - 调整后的期望：
$\mathbb{E}[4x_{(1)}] = 4 \cdot \frac{\theta}{4} = \theta$
因此，$4x_{(1)}$ 也是 $\theta$ 的无偏估计。
2. 有效性比较
$\frac{4}{3}x_{(3)}$ 的方差
- 最大值 $x_{(3)}$ 的方差：
$\text{Var}(x_{(3)}) = \frac{3\theta^2}{80}$ - 调整后的方差：
$\text{Var}\left(\frac{4}{3}x_{(3)}\right) = \left(\frac{4}{3}\right)^2 \cdot \frac{3\theta^2}{80} = \frac{\theta^2}{15}$
$4x_{(1)}$ 的方差
- 最小值 $x_{(1)}$ 的方差：
$\text{Var}(x_{(1)}) = \frac{3\theta^2}{80}$ - 调整后的方差：
$\text{Var}(4x_{(1)}) = 16 \cdot \frac{3\theta^2}{80} = \frac{3\theta^2}{5}$
方差比较
$\frac{\theta^2}{15} < \frac{3\theta^2}{5}$
因此，$\frac{4}{3}x_{(3)}$ 的方差更小，更有效。