题目
11.计算int(1)/(1+cos2x)dx.
11.计算$\int\frac{1}{1+\cos2x}dx$.
题目解答
答案
利用余弦的二倍角公式 $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$，代入原积分得：
\[
\int \frac{1}{1 + \cos^2 x - \sin^2 x} \, dx = \int \frac{1}{2 \cos^2 x} \, dx
\]
提取常数并使用 $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$，得：
\[
\frac{1}{2} \int \sec^2 x \, dx = \frac{1}{2} \tan x + C
\]
其中 $C$ 为积分常数。因此，答案为：
\[
\boxed{\frac{1}{2} \tan x + C}
\]
解析
本题主要考察利用三角函数的二倍角公式化简被积函数，再通过基本积分公式求解不定积分。具体步骤如下：
步骤1：利用余弦二倍角公式化简被积函数
回忆余弦的二倍角公式：
$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$
代入原积分的分母 $1 + \cos 2x$：
$1 + \cos 2x = 1 + (\cos^2 x - \sin^2 x) = \cos^2 x + (1 - \sin^2 x) = 2\cos^2 x$
（注：$1 - \sin^2 x = \cos^2 x$，故 $1 + \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x$）
步骤2：转化为基本积分形式
原积分化简为：
$\int \frac{1}{2\cos^2 x} dx$
提取常数 $\frac{1}{2}$，并利用 $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$：
$\frac{1}{2} \int \sec^2 x dx$
步骤3：计算积分
根据基本积分公式 $\int \sec^2 x dx = \tan x + C$（$C$为积分常数），得：
$\frac{1}{2} \tan x + C$