题目
【计算题】在立式光学计上对一轴类零件进行比较测量,共重复测量 15 次,测得值如下(单位为 mm ) :9.015 , 9.013 , 9.016 , 9.012 , 9.015 , 9.014 , 9.017 , 9.018 , 9.014 , 9.016 , 9.014 , 9.015 , 9.014 , 9.017 , 9.018 。试求出该零件的算术平均值、单次测量的标准偏差、算术平均值的标准偏差、测量结果
【计算题】在立式光学计上对一轴类零件进行比较测量,共重复测量 15 次,测得值如下(单位为 mm ) :9.015 , 9.013 , 9.016 , 9.012 , 9.015 , 9.014 , 9.017 , 9.018 , 9.014 , 9.016 , 9.014 , 9.015 , 9.014 , 9.017 , 9.018 。试求出该零件的算术平均值、单次测量的标准偏差、算术平均值的标准偏差、测量结果
题目解答
答案
) 判断定值系统误差 假设计量[1][1]器具已经检定、测量环境得到有效控制 , 可认为测量列中不存在定值系统误差。 ( 2 ) 求测量列算术平均值 = 9.0152 mm ( 3 )计算残差 各残差的数值经计算后列于表中。按残差观察法, 这些残差的符号大体上正、负相间,没有周期性变化,因此可以认为测量列中不存在变值系统误差。 ( 4 )计算测量列单次测量值的标准偏差 σ≈ 1.84 μm ( 5 )判断粗大误差 按拉依达准则,测量列中没有出现绝对值大于 3σ ( 3×1.84 = 5.52 μm ) 的残差,即测量列中不存在粗大误差。 ( 6 )计算测量列算术平均值的标准偏差 ≈ 0.475 μ m ( 7 )计算测量列算术平均值的测量极限误差 ( 8 )确定测量结果 ,这时的置信概率为 99.73% 。
解析
步骤 1：判断定值系统误差
假设计量器具已经检定、测量环境得到有效控制，可认为测量列中不存在定值系统误差。
步骤 2：求测量列算术平均值
将所有测量值相加，然后除以测量次数，得到算术平均值。
\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]
其中，\( n = 15 \) 为测量次数，\( x_i \) 为第 \( i \) 次测量值。
步骤 3：计算残差
计算每个测量值与算术平均值的差值，即残差。
\[ v_i = x_i - \bar{x} \]
步骤 4：计算测量列单次测量值的标准偏差
计算残差的平方和，然后除以测量次数减一，再开方，得到单次测量的标准偏差。
\[ \sigma = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} v_i^2} \]
步骤 5：判断粗大误差
按拉依达准则，测量列中没有出现绝对值大于 3σ 的残差，即测量列中不存在粗大误差。
步骤 6：计算测量列算术平均值的标准偏差
计算算术平均值的标准偏差，即单次测量的标准偏差除以测量次数的平方根。
\[ \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
步骤 7：计算测量列算术平均值的测量极限误差
测量极限误差通常取为算术平均值的标准偏差的 3 倍。
\[ \Delta = 3 \sigma_{\bar{x}} \]
步骤 8：确定测量结果
将算术平均值和测量极限误差结合起来，得到测量结果。
\[ x = \bar{x} \pm \Delta \]
假设计量器具已经检定、测量环境得到有效控制，可认为测量列中不存在定值系统误差。
步骤 2：求测量列算术平均值
将所有测量值相加，然后除以测量次数，得到算术平均值。
\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]
其中，\( n = 15 \) 为测量次数，\( x_i \) 为第 \( i \) 次测量值。
步骤 3：计算残差
计算每个测量值与算术平均值的差值，即残差。
\[ v_i = x_i - \bar{x} \]
步骤 4：计算测量列单次测量值的标准偏差
计算残差的平方和，然后除以测量次数减一，再开方，得到单次测量的标准偏差。
\[ \sigma = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} v_i^2} \]
步骤 5：判断粗大误差
按拉依达准则，测量列中没有出现绝对值大于 3σ 的残差，即测量列中不存在粗大误差。
步骤 6：计算测量列算术平均值的标准偏差
计算算术平均值的标准偏差，即单次测量的标准偏差除以测量次数的平方根。
\[ \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
步骤 7：计算测量列算术平均值的测量极限误差
测量极限误差通常取为算术平均值的标准偏差的 3 倍。
\[ \Delta = 3 \sigma_{\bar{x}} \]
步骤 8：确定测量结果
将算术平均值和测量极限误差结合起来，得到测量结果。
\[ x = \bar{x} \pm \Delta \]