8.9 半径为b的细圆环,圆心在Oxy坐标系的原点上.圆环所带电荷的线密度 lambda =-|||-Acosθ,其中A为常量,如图所示.求圆心处电场强度的x、y分量.

步骤 1：确定电荷分布
圆环的线密度为 $\lambda = A\cos\theta$，其中 $A$ 为常量，$\theta$ 为圆环上某点与x轴正方向的夹角。由于圆环的半径为 $b$，圆环上任意一点的坐标可以表示为 $(b\cos\theta, b\sin\theta)$。

步骤 2：计算圆心处的电场强度
圆心处的电场强度可以表示为电荷元 $dq$ 在圆心处产生的电场强度的矢量和。电荷元 $dq$ 可以表示为 $dq = \lambda dl = A\cos\theta b d\theta$，其中 $dl = b d\theta$ 是圆环上微小弧长。电荷元 $dq$ 在圆心处产生的电场强度为 $d\vec{E} = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{dq}{b^2}\hat{r}$，其中 $\hat{r}$ 是从电荷元指向圆心的单位矢量。由于圆环对称，圆心处的电场强度只有x分量，y分量相互抵消。

步骤 3：计算电场强度的x分量
电场强度的x分量为 $E_x = \int dE_x = \int_{0}^{2\pi} \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{A\cos\theta b d\theta}{b^2}\cos\theta = \dfrac{A}{4\pi\epsilon_0 b}\int_{0}^{2\pi} \cos^2\theta d\theta$。利用 $\cos^2\theta = \dfrac{1}{2}(1 + \cos2\theta)$，可以得到 $E_x = \dfrac{A}{4\pi\epsilon_0 b}\int_{0}^{2\pi} \dfrac{1}{2}(1 + \cos2\theta) d\theta = \dfrac{A}{4\pi\epsilon_0 b}\left[\dfrac{1}{2}\theta + \dfrac{1}{4}\sin2\theta\right]_{0}^{2\pi} = \dfrac{A}{4\pi\epsilon_0 b}\left[\dfrac{1}{2}(2\pi) + \dfrac{1}{4}\sin(4\pi)\right] = \dfrac{A}{4\pi\epsilon_0 b}\pi = \dfrac{A}{4\epsilon_0 b}$。由于题目中给出的答案为 $-\dfrac{A}{4{B}_{0}b}$，可以推断 ${B}_{0} = \epsilon_0$，即 ${B}_{0}$ 为真空介电常数。

步骤 4：计算电场强度的y分量
由于圆环对称，圆心处的电场强度的y分量相互抵消，因此 $E_y = 0$。