某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的。根据以往的记录有以下的数据:元件厂次品率市场份额10.020.1520.010.8030.030.05设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的,且无区别的标志。(1)在仓库中随机地取一只元件,求它是次品的概率;(2)在仓库中随机地取一只元件,若已知取到的是次品,试分析此次品出自何厂的概率最大。

考查要点：本题主要考查全概率公式和贝叶斯定理的应用，涉及条件概率的理解与计算。

解题思路：

1. 第一问：计算随机取到次品的概率，需将各元件厂的市场份额与对应的次品率结合，利用全概率公式求和。
2. 第二问：已知取到次品，求来自各厂的概率，需用贝叶斯定理计算后验概率，比较后验概率大小。

关键点：

• 全概率公式：将总概率分解为各子事件的加权和。
• 贝叶斯定理：通过先验概率和条件概率计算后验概率，注意分母是第一问的结果。

第（1）题

目标：计算随机取到次品的概率 $P(A)$。

应用全概率公式

$P(A) = \sum_{i=1}^{3} P(B_i)P(A|B_i)$

代入数据

• $P(B_1)P(A|B_1) = 0.15 \times 0.02 = 0.003$
• $P(B_2)P(A|B_2) = 0.80 \times 0.01 = 0.008$
• $P(B_3)P(A|B_3) = 0.05 \times 0.03 = 0.0015$

求和

$P(A) = 0.003 + 0.008 + 0.0015 = 0.0125$

第（2）题

目标：计算 $P(B_i|A)$，比较大小。

应用贝叶斯定理

$P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i)P(B_i)}{P(A)}$

计算各厂后验概率

• 第1厂：
  $P(B_1|A) = \frac{0.02 \times 0.15}{0.0125} = \frac{0.003}{0.0125} = 0.24$
• 第2厂：
  $P(B_2|A) = \frac{0.01 \times 0.80}{0.0125} = \frac{0.008}{0.0125} = 0.64$
• 第3厂：
  $P(B_3|A) = \frac{0.03 \times 0.05}{0.0125} = \frac{0.0015}{0.0125} = 0.12$

比较结果

$P(B_2|A) = 0.64$ 最大，因此次品最可能来自第2家工厂。