题目
设有来自正态总体Xsim N(mu,0.9^2)的容量为9的简单随机样本，测得样本均值overline(x)=5，求未知参数mu的置信度为0.95的置信区间.(Z_(0.025)=1.96)
设有来自正态总体$X\sim N(\mu,0.9^{2})$的容量为9的简单随机样本，测得样本均值$\overline{x}=5$，求未知参数$\mu$的置信度为0.95的置信区间.($Z_{0.025}=1.96$)
题目解答
答案
已知条件：
- 样本均值 $\overline{x} = 5$
- 总体标准差 $\sigma = 0.9$
- 样本容量 $n = 9$
- 置信度 $1 - \alpha = 0.95$，对应 $z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96$
置信区间公式：
\[
\left( \overline{x} - \frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{\alpha/2}, \overline{x} + \frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{\alpha/2} \right)
\]
代入数值计算：
\[
\frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{\alpha/2} = \frac{0.9}{3} \times 1.96 = 0.588
\]
置信区间为：
\[
(5 - 0.588, 5 + 0.588) = (4.412, 5.588)
\]
**答案：** $\boxed{(4.412, 5.588)}$
解析
考查要点：本题主要考查正态总体均值的置信区间估计，在总体方差已知的情况下，利用Z分布构造置信区间。
解题核心思路：
- 确定置信区间公式：当总体方差已知时，均值的置信区间公式为 $\left( \overline{x} \pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{\alpha/2} \right)$。
- 代入已知条件：将样本均值、总体标准差、样本容量和临界值 $z_{\alpha/2}$ 代入公式计算。
- 计算并简化：注意标准误 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 的计算和边际误差的叠加。
破题关键点：
- 区分Z分布与t分布：本题总体方差已知，因此使用Z分布，而非t分布。
- 正确计算标准误：标准误是 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，需注意分母为样本容量的平方根。
已知条件：
- 样本均值 $\overline{x} = 5$
- 总体标准差 $\sigma = 0.9$
- 样本容量 $n = 9$
- 置信度 $1 - \alpha = 0.95$，对应 $z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96$
置信区间公式：
$\left( \overline{x} - \frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{\alpha/2}, \quad \overline{x} + \frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{\alpha/2} \right)$
代入数值计算：
- 计算标准误：
$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0.9}{\sqrt{9}} = \frac{0.9}{3} = 0.3$ - 计算边际误差：
$0.3 \times 1.96 = 0.588$ - 构造置信区间：
$(5 - 0.588, \quad 5 + 0.588) = (4.412, \quad 5.588)$