题目
设简单随机样本 X_1, X_2, ldots, X_n 来自正态总体 N(0,1)，则统计量 Y=(X_2^2+X_3^2+...+X_n^2)/((n-1)X_1^2) 服从(）。A. chi^2(n-1)B. chi^2(n)C. F(1, n-1)D. F(n-1,1)
设简单随机样本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 来自正态总体 $N(0,1)$，则统计量 $Y=\frac{X_2^2+X_3^2+\cdots+X_n^2}{(n-1)X_1^2}$ 服从(）。
A. $\chi^2(n-1)$
B. $\chi^2(n)$
C. $F(1, n-1)$
D. $F(n-1,1)$
题目解答
答案
D. $F(n-1,1)$
解析
步骤 1：分析分子
分子 $X_2^2 + X_3^2 + \cdots + X_n^2$ 是 $n-1$ 个独立标准正态随机变量的平方和，根据卡方分布的定义，它服从 $\chi^2(n-1)$ 分布。
步骤 2：分析分母
分母 $(n-1)X_1^2$ 中，$X_1^2$ 是一个独立标准正态随机变量的平方，因此它服从 $\chi^2(1)$ 分布。乘以 $(n-1)$ 不改变其自由度，因此分母仍服从 $\chi^2(1)$ 分布。
步骤 3：应用F分布定义
根据F分布的定义，如果 $U$ 和 $V$ 分别是自由度为 $m$ 和 $n$ 的独立卡方随机变量，则 $F = \frac{U/m}{V/n}$ 服从 $F(m,n)$ 分布。因此，统计量 $Y$ 可以表示为：\[ Y = \frac{\chi^2(n-1)/(n-1)}{\chi^2(1)/1} \] 这表明 $Y$ 服从 $F(n-1,1)$ 分布。
分子 $X_2^2 + X_3^2 + \cdots + X_n^2$ 是 $n-1$ 个独立标准正态随机变量的平方和，根据卡方分布的定义，它服从 $\chi^2(n-1)$ 分布。
步骤 2：分析分母
分母 $(n-1)X_1^2$ 中，$X_1^2$ 是一个独立标准正态随机变量的平方，因此它服从 $\chi^2(1)$ 分布。乘以 $(n-1)$ 不改变其自由度，因此分母仍服从 $\chi^2(1)$ 分布。
步骤 3：应用F分布定义
根据F分布的定义，如果 $U$ 和 $V$ 分别是自由度为 $m$ 和 $n$ 的独立卡方随机变量，则 $F = \frac{U/m}{V/n}$ 服从 $F(m,n)$ 分布。因此，统计量 $Y$ 可以表示为：\[ Y = \frac{\chi^2(n-1)/(n-1)}{\chi^2(1)/1} \] 这表明 $Y$ 服从 $F(n-1,1)$ 分布。