设C为单位圆|z|=1的上半圆周，起点-1，终点1，则oint_(c)overline(z)dz=____A. 0B. 2pi iC. -pi iD. pi i

本题考查复变函数沿曲线的积分计算，解题思路是先将曲线$C$用参数方程表示出来，再将$\overline{z}$和$dz$用参数表示，最后将曲线积分转化为定积分进行计算。

已知$C$为单位圆$\vert z\vert = 1$的上半圆周，起点$-1$，终点$1$，则可令$z = e^{i\theta}$，$\theta$的取值范围是从$\pi$到$0$。

• 步骤一：求$\overline{z}$和$dz$关于$\theta$的表达式
  因为$z = e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta$，所以$\overline{z}=\cos\theta - i\sin\theta = e^{-i\theta}$。
  对$z = e^{i\theta}$求导，根据求导公式$(e^{ax})^\prime = ae^{ax}$可得$dz = ie^{i\theta}d\theta$。
• 步骤二：将曲线积分转化为定积分
  将$\overline{z}=e^{-i\theta}$和$dz = ie^{i\theta}d\theta$代入曲线积分$\oint_{C}\overline{z}dz$中，可得：
  $\oint_{C}\overline{z}dz=\int_{\pi}^{0}e^{-i\theta}\cdot ie^{i\theta}d\theta$
• 步骤三：计算定积分
  对$\int_{\pi}^{0}e^{-i\theta}\cdot ie^{i\theta}d\theta$进行化简，根据指数运算法则$a^m\cdot a^n = a^{m + n}$可得：
  $\int_{\pi}^{0}e^{-i\theta}\cdot ie^{i\theta}d\theta = i\int_{\pi}^{0}e^{-i\theta + i\theta}d\theta = i\int_{\pi}^{0}e^{0}d\theta = i\int_{\pi}^{0}1d\theta$
  再根据定积分基本公式$\int_{a}^{b}1dx = b - a$可得：
  $i\int_{\pi}^{0}1d\theta = i\cdot(0 - \pi)= -\pi i$