题目
7.13.设总体X在区间[0,θ]上服从均匀分布，其中参数θ未知，(X_(1),...,X_(n))(n>2)是从该总体抽取的样本.(1)证明T_(1)=2overline(X),T_(2)=(n+1)X_((1))均为θ的无偏估计量.(2)问哪个估计量更为有效?
7.13.设总体X在区间[0,θ]上服从均匀分布，其中参数θ未知，$(X_{1},\cdots,X_{n})$($n>2$)是从该总体抽取的样本.(1)证明$T_{1}=2\overline{X}$,$T_{2}=(n+1)X_{(1)}$均为θ的无偏估计量.(2)问哪个估计量更为有效?
题目解答
答案
1. **无偏性证明**
- $T_1 = 2\overline{X}$：
$E(T_1) = 2E(\overline{X}) = 2 \times \frac{\theta}{2} = \theta$，无偏。
- $T_2 = (n+1)X_{(1)}$：
$E(X_{(1)}) = \frac{\theta}{n+1}$，故 $E(T_2) = \theta$，无偏。
2. **有效性比较**
- $Var(T_1) = \frac{\theta^2}{3n}$
- $Var(T_2) = \frac{\theta^2 n}{n+2}$
对于 $n > 2$，有 $Var(T_1) < Var(T_2)$，因此 $T_1$ 更有效。
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
1. & T_1, T_2 \text{均为无偏估计量。} \\
2. & n > 2 \text{时，} T_1 \text{更有效。}
\end{array}
\]