题目
8.设总体 approx N(0,1), X1,X2,X3,X4,X5为来自总体X的一个样本, =-|||-dfrac (C({X)_(1)+(X)_(2))}({({{X)_(3)}^2+({X)_(4)}^2+({X)_(5)}^2)}^dfrac (1{2)}}, 试确定常数C使Y服从t分布。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定分子的分布
由于 $X_1$ 和 $X_2$ 都是来自 $N(0,1)$ 的独立样本，因此 $X_1 + X_2$ 服从 $N(0,2)$。因此，$C(X_1 + X_2)$ 服从 $N(0,2C^2)$。
步骤 2：确定分母的分布
$X_3^2$, $X_4^2$, $X_5^2$ 都是来自 $N(0,1)$ 的独立样本的平方，因此它们都服从 $\chi^2(1)$ 分布。因此，$X_3^2 + X_4^2 + X_5^2$ 服从 $\chi^2(3)$ 分布。所以，$\sqrt{X_3^2 + X_4^2 + X_5^2}$ 服从 $\chi(3)$ 分布。
步骤 3：确定Y的分布
根据t分布的定义，如果 $Z \sim N(0,1)$，$W \sim \chi^2(n)$，且 $Z$ 和 $W$ 独立，则 $\frac{Z}{\sqrt{W/n}}$ 服从 $t(n)$ 分布。因此，为了使 $Y$ 服从 $t$ 分布，我们需要 $C(X_1 + X_2)$ 服从 $N(0,1)$，即 $2C^2 = 1$，从而 $C^2 = \frac{1}{2}$，$C = \frac{\sqrt{2}}{2}$。但是，由于分母是 $\chi(3)$ 分布，我们需要调整 $C$ 以匹配 $t$ 分布的定义，即 $C = \frac{\sqrt{6}}{2}$。
由于 $X_1$ 和 $X_2$ 都是来自 $N(0,1)$ 的独立样本，因此 $X_1 + X_2$ 服从 $N(0,2)$。因此，$C(X_1 + X_2)$ 服从 $N(0,2C^2)$。
步骤 2：确定分母的分布
$X_3^2$, $X_4^2$, $X_5^2$ 都是来自 $N(0,1)$ 的独立样本的平方，因此它们都服从 $\chi^2(1)$ 分布。因此，$X_3^2 + X_4^2 + X_5^2$ 服从 $\chi^2(3)$ 分布。所以，$\sqrt{X_3^2 + X_4^2 + X_5^2}$ 服从 $\chi(3)$ 分布。
步骤 3：确定Y的分布
根据t分布的定义，如果 $Z \sim N(0,1)$，$W \sim \chi^2(n)$，且 $Z$ 和 $W$ 独立，则 $\frac{Z}{\sqrt{W/n}}$ 服从 $t(n)$ 分布。因此，为了使 $Y$ 服从 $t$ 分布，我们需要 $C(X_1 + X_2)$ 服从 $N(0,1)$，即 $2C^2 = 1$，从而 $C^2 = \frac{1}{2}$，$C = \frac{\sqrt{2}}{2}$。但是，由于分母是 $\chi(3)$ 分布，我们需要调整 $C$ 以匹配 $t$ 分布的定义，即 $C = \frac{\sqrt{6}}{2}$。