题目
设总体 X sim N(mu, sigma^2), sigma 已知, X_1, X_2, ..., X_n 是来自该总体的样本, 记样本均值为 overline(X) = (1)/(n) sum_(i=1)^n X_i, 样本方差为 S^2 = (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2, 若在显著性水平为 alpha 下, 对假设 H_0: mu = mu_0, H_1: mu neq mu_0 进行检验, 其检验统计量与 H_0: mu = mu_0 的拒绝域为分别为()。 A Z = (overline(X) - mu_0)/(sigma / sqrt(n)), |z| geq z_(alpha/2); B t = (overline(X) - mu_0)/(S / sqrt(n)), |t| geq t_(alpha/2)(n-1); C Z = (overline(X) - mu_0)/(sigma / sqrt(n)), |z| geq z_(alpha); D t = (overline(X) - mu_0)/(S / sqrt(n)), |t| geq t_(alpha/2)(n).
设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, $\sigma$ 已知, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自该总体的样本, 记样本均值为 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$, 样本方差为 $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$, 若在显著性水平为 $\alpha$ 下, 对假设 $H_0: \mu = \mu_0, H_1: \mu \neq \mu_0$ 进行检验, 其检验统计量与 $H_0: \mu = \mu_0$ 的拒绝域为分别为()。
A $Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}, \quad |z| \geq z_{\alpha/2}$;
B $t = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}, \quad |t| \geq t_{\alpha/2}(n-1)$;
C $Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}, \quad |z| \geq z_{\alpha}$;
D $t = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}, \quad |t| \geq t_{\alpha/2}(n)$.
题目解答
答案
为了确定假设 $ H_0: \mu = \mu_0 $ 和 $ H_1: \mu \neq \mu_0 $ 在显著性水平为 $\alpha$ 下的检验统计量和拒绝域，我们需要遵循以下步骤：
1. **识别检验统计量：**
由于总体方差 $\sigma^2$ 已知，我们使用 Z 检验。Z 检验统计量由下式给出：
\[
Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}
\]
其中 $\overline{X}$ 是样本均值，$\mu_0$ 是假设的总体均值，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本大小。
2. **确定拒绝域：**
对于双侧检验 $ H_1: \mu \neq \mu_0 $，我们在标准正态分布的 tails" 中拒绝 $ H_0 $。在显著性水平为 $\alpha$ 下的拒绝域为：
\[
|Z| \ge z_{\alpha/2}
\]
其中 $z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的上 $\alpha/2$ 分位数。
3. **结论：**
正确的检验统计量和拒绝域是：
\[
Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}, \quad |Z| \ge z_{\alpha/2}
\]
因此，正确答案是 $\boxed{A}$。