题目
设总体X的概率密度为f(x)= ) (theta +1)(x)^theta ,0lt xlt 1, 0, .的矩估计量和极大似然估计量。
设总体X的概率密度为
其中
是未知参数,(X1,X2,…,Xn)是来自总体X的样本。试求
的矩估计量和极大似然估计量。
题目解答
答案
解:总体X的数学期望EX=
=
=
。
则
,用
替代X,得未知参数
的矩估计量为
。
设x1,x2,…,xn是X1,X2,…,Xn相应于的样本值,则似然函数为
,当0<xi<1 (i=1,2,…,n)时,L>0,且
令 
,解得的极大似然估计值为
,从而得的极大似然估计量为
。
解析
步骤 1：求解总体X的数学期望EX
根据概率密度函数f(x)的定义，总体X的数学期望EX可以通过积分求得。具体地，EX=${\int }_{-\infty }^{\infty }xf(x)dx$。由于f(x)在0步骤 2：计算EX的具体值
将f(x)代入EX的积分表达式中，得到EX=${\int }_{0}^{1}(1+\theta){x}^{\theta +1}dx$。通过计算该积分，可以得到EX=$\dfrac {\theta +1}{\theta +2}$。
步骤 3：求解θ的矩估计量
根据矩估计量的定义，用样本均值$\overline {X}$替代总体均值EX，可以得到θ的矩估计量。将EX=$\dfrac {\theta +1}{\theta +2}$代入，解得$\theta =\dfrac {2EX-1}{1-EX}$。用$\overline {X}$替代EX，得到θ的矩估计量$\hat {\theta }=\dfrac {2\overline {X}-1}{1-\overline {X}}$。
步骤 4：求解θ的极大似然估计量
首先，写出似然函数L。由于f(x)在0
根据概率密度函数f(x)的定义，总体X的数学期望EX可以通过积分求得。具体地，EX=${\int }_{-\infty }^{\infty }xf(x)dx$。由于f(x)在0
将f(x)代入EX的积分表达式中，得到EX=${\int }_{0}^{1}(1+\theta){x}^{\theta +1}dx$。通过计算该积分，可以得到EX=$\dfrac {\theta +1}{\theta +2}$。
步骤 3：求解θ的矩估计量
根据矩估计量的定义，用样本均值$\overline {X}$替代总体均值EX，可以得到θ的矩估计量。将EX=$\dfrac {\theta +1}{\theta +2}$代入，解得$\theta =\dfrac {2EX-1}{1-EX}$。用$\overline {X}$替代EX，得到θ的矩估计量$\hat {\theta }=\dfrac {2\overline {X}-1}{1-\overline {X}}$。
步骤 4：求解θ的极大似然估计量
首先，写出似然函数L。由于f(x)在0